📂미분적분학

비 판정법

정리¹

급수 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}$에 대해서, $\lim\limits_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| = L$이라 하자.

(a) $L < 1$이면 급수는 절대수렴한다.

(b) $L > 1$이거나 $L = \infty$이면 급수는 발산한다.

(c) $L = 1$이면 판정할 수 없다.

설명

$L = 1$이면 판정할 수 없으므로, 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하기 위해서는 다른 판정법을 써야한다. 정리의 진술이 근 판정법과 유사하다.

(c)

$L = 1$이면 수렴일 수도 있고, 발산일 수도 있다. 가령 아래의 두 급수는 모두 $L = 1$이지만, 왼쪽의 조화 급수는 발산하고, 오른쪽의 $p$-급수는 수렴한다.

$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n} \qquad \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}}$$

증명

(a)

증명의 아이디어는 수렴하는 기하급수와 비교하는 것이다. $L \lt 1$이므로 $L \lt r \lt 1$을 만족하는 양수 $r$이 존재한다. 그러면, $\lim\limits_{n \to \infty} | a_{n+1} / a_{n} | = L$이므로, 어떤 충분히 큰 $N$에 대해서 다음이 성립한다.

$$\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| \lt r, \quad \text{for all } n \ge N$$

다시 적으면

$$\left| a_{n+1} \right| \lt \left| a_{n} \right|r, \quad \text{for all } n \ge N \tag{1}$$

$(1)$에 $n = N$을 대입하면 다음과 같다.

$$\left| a_{N+1} \right| \lt \left| a_{N} \right|r \tag{2}$$

$(1)$에 $n = N+1$을 대입하면, $(1)$과 $(2)$에 의해서 다음을 얻는다.

$$\left| a_{N+2} \right| \lt \left| a_{N+1} \right|r \lt \left| a_{N} \right|r^{2}$$

같은 방식으로 다음의 식들을 얻는다.

$$\begin{align*} \left| a_{N+3} \right| &\lt \left| a_{N+2} \right|r \lt \left| a_{N+1}\right|r^{2} \lt \left| a_{N}\right|r^{3} \\ \left| a_{N+4} \right| &\lt \left| a_{N+3} \right|r \lt \left| a_{N+2}\right|r^{2} \lt \left| a_{N+1}\right|r^{3} \lt \left| a_{N}\right|r^{4} \\ &\vdots \\ \left| a_{N+k} \right| &\lt \left| a_{N}\right|r^{k},\quad \text{for all } k \ge 1 \end{align*}$$

그런데 급수 $\sum\limits_{k = 1}^{\infty} |a_{N}|r^{k} = |a_{N}| r + |a_{N}| r^{2} + |a_{N}| r^{3} + \cdots$는 기하급수이고 $|r| \lt 1$이므로 수렴한다. 따라서 비교판정법에 의해 $\sum\limits_{k=1}^{\infty} |a_{N+k}|$도 수렴한다. 즉 $\sum a_{n}$이 절대수렴한다. (앞의 유한한 항은 급수의 수렴에 영향을 끼치지 않음)

■

(b)

$L > 1$이거나 $L = \infty$이면, 충분히 큰 $N$에 대해서 다음이 성립한다.

$$\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| \gt 1, \quad \text{for all } n \ge N$$

$$\implies \left| a_{n+1} \right| \gt \left| a_{n} \right|, \quad \text{for all } n \ge N$$

따라서 $\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} \ne 0$이므로, 발산판정법에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다.

■