미분방정식로 표현되는 시스템의 보존량
정의
공간 $X$ 와 함수 $f : X \to X$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ \dot{x} = f(x) $$ 주어진 시스템에 종속된 상수함수 $h : X \to \mathbb{R}$ 가 존재하면 이를 보존량이라 한다.
설명
물리학적, 즉 역학적인(mechanical) 센스에 익숙하다면 보존량이라는 개념은 전혀 낯설지 않을 것이다. 가령 이상적인 상황에서 연직 방향 반대로 공을 쏘아올렸다면 공의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합은 일정하게 보존된다. 이를 수학적, 그러니까 동역학적(dynamical)으로 접근하자면 정확히 시스템에 의존하는 상수함수의 존재성과 동치가 된다.
고전역학 모델1
$$ \begin{align*} \dot{x} =& y \\ \dot{y} =& x - x^{3} - \delta y \qquad , \delta \ge 0 \end{align*} $$ 위와 같은 비강제 감쇠 더핑 오실레이터를 생각해보자. 여기서 $x$ 를 입자의 위치라고 본다면, $y$ 는 속도가 되고 $y '$ 는 가속도가 될 것이다. 그렇다면 미분방정식에서 감쇠항 $-\delta y$ 은 속력에 비례하여 움직이는 방향의 반대로 힘을 주는 것을 묘사한다. 이러한 작용에 따라 입자는 점점 에너지를 잃어가고, 결국에는 멈추게 될 것이다. 현실세계 대부분의 물리현상은 이렇듯 마찰이나 감쇠가 있어 영원히 운동할 수 없다. 이제 여기서 이상적인 상황, 그러니까 감쇠가 일어나지 않는 상황 $\delta = 0$ 을 가정하는 사고실험을 해보자. 문자를 $x$ 로 통일하면 $$ \ddot{x} = x - x^{3} - 0 x’ $$ 모든 항들에 $\dot{x}$ 를 곱하고 좌변으로 넘겨 정리하면 $$ \dot{x} x’’ - \dot{x} x + \dot{x} x^{3} = 0 $$ 여기서 $\displaystyle {{ d } \over { d t }}$ 로 각 항을 미분했다고 보면 $$ {{ d } \over { d t }} \left( {{ 1 } \over { 2 }} (x’)^{2} - {{ x^{2} } \over { 2 }} + {{ x^{4} } \over { 4 }} \right) = 0 $$ 위의 식에서 우변이 $0$ 이므로 다음과 같은 상수함수 $h(x,y)$ 를 유도할 수 있다. $$ h(x,y) := {{ y^{2} } \over { 2 }} - {{ x^{2} } \over { 2 }} + {{ x^{4} } \over { 4 }} $$ 여기서 물체의 질량이 $m=1$ 이라고 한다면 $\displaystyle {{ 1 \cdot y^{2} } \over { 2 }}$ 는 운동 에너지고, $\displaystyle {{ x^{4} } \over { 4 }} - {{ x^{2} } \over { 2 }}$ 가 퍼텐셜 에너지라고 하면 $h$ 는 변하지 않는 보존량이면서 에너지의 총량으로 볼 수 있다.
질병확산 모델 2
보존량의 개념을 설명할 때 역학에서의 시스템을 가져오는 것은 매우 직관적이지만, 함수로 정의된 보존량을 설명할 때 굳이 물리적인 의미만을 떠올릴 필요는 없다. 가령 다음과 같은 시스템을 생각해보자. $$ \begin{align*} {{ d S } \over { d t }} =& - {{ \beta I S } \over { N }} \\ {{ d I } \over { d t }} =& {{ \beta I S } \over { N }} - \gamma I \\ {{ d R } \over { d t }} =& \gamma I \end{align*} $$ 여기서 $N$ 은 전체 인구, $S$ 는 질병에 걸릴 수 있는 인구, $I$ 는 질병을 퍼트리는 인구, $R$ 은 면역을 가진 인구로, 이러한 모델을 SIR 모델이라고 한다 . 여기서 $S, I, R$ 의 합은 반드시 $N$ 이 되어야할 것이다. 즉 이 경우 보존량은 다음과 같이 모든 상태를 더한 $N$ 이 될 것이다. $$ h(S,I,R) = S + I + R = N $$ 물론 이 경우에는 너무 당연해서 무의미한 것으로 보일지 모르겠으나, 요점은 보존량이라는 게 중요한지 중요하지 않은지를 떠나 유연하게 사고해야한다는 것이다. 또한 모델링에 있어서는 이렇게 간단한 사항을 체크하지 않아 큰 오류를 저지르는 경우도 간혹 있으니 알아두는 편이 확실히 더 낫다.