결합 진동
단순 결합 진동
두 물체 $m_{1}$, $m_{2}$가 위 그림과 같이 2개의 스프링으로 연결되어 있다고 하자. 그리고 물체 $m_{1}$이 평형점으로부터 떨어진 거리를 $x_{1}$, 물체 $m_{2}$가 평형점으로부터 떨어진 거리를 $x_{2}$라고 하자. 스프링이 물체에 작용하는 복원력은 용수철 상수와 용수철이 늘어난(줄어든)길이의 곱이므로 용수철1이 물체1에 가하는 힘은 $-k_{1}x_{1}$이다. 용수철2는 줄어든 만큼 물체1을 왼쪽으로 밀어내므로 용수철2가 물체1에 가하는 힘은 $-k_{2}(x_{1}-x_{2})$이다. 따라서 물체1의 운동 방정식은 아래와 같다.
$$ \begin{align*} && m_{1}\ddot{x_{1}} &=-k_{1}x_{1}-k_{2}(x_{1}-x_{2}) \\ \implies && \ddot{x_{1}}+ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}}x_{1}-\frac{k_{2}}{m_{1}}x_{2}&=0 \end{align*} $$
물체2는 용수철2가 늘어난 만큼 왼쪽으로 당겨지므로 용수철2가 물체2에 가하는 힘은 $-k_{2}(x_{2}-x_{1})$이다. 따라서 물체2의 운동 방정식은 다음과 같다.
$$ \begin{align*} && m_{2}\ddot{x_{2}} &= -k_{2}(x_{2}-x_{1}) \\ \implies && \ddot{x_{2}}+\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{2}-\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{1} &=0 \end{align*} $$
따라서 위 그림과 같은 시스템의 운동 방정식은 다음과 같은 연립 미분 방정식으로 나타난다.
$$ \left\{ \begin{align*} \ddot{x_{1}}+ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}}x_{1}-\frac{k_{2}}{m_{1}}x_{2}&=0 \\ \ddot{x_{2}}+\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{2}-\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{1} &=0 \end{align*} \right. $$
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스프링이 3개인 결합 진동
물체 $m_{1}$에는 용수철1과 용수철2가 힘을 가한다. 앞서 살펴본 경우에서와 마찬가지로 계산하면 그 힘은 각각 $-k_{1}x_{1}$, $-k_{2}(x_{1}-x_{2})$이다. 따라서 물체1은 두 경우에서 운동 방정식이 같다.
$$ \ddot{x_{1}}+ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}}x_{1}-\frac{k_{2}}{m_{1}}x_{2}=0 $$
물체 $m_{2}$에는 용수철2와 용수철 3이 힘을 가한다. 그 힘은 각각 $-k_{2}(x_{2}-x_{1})$, $-k_{3}x_{2}$이다. 따라서 물체2의 운동 방정식은 다음과 같다.
$$ \begin{align*} && m_{2}\ddot{x_{2}} &= -k_{2}(x_{2}-x_{1})-k_{3}x_{2} \\ \implies && \ddot{x_{2}}+\frac{k_{2}+k_{3}}{m_{2}}x_{2}-\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{1} &=0 \end{align*} $$
시스템 전체의 운동 방정식은 아래와 같은 연립 미분 방정식으로 나타난다.
$$ \left\{ \begin{align*} \ddot{x_{1}}+ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}}x_{1}-\frac{k_{2}}{m_{1}}x_{2}&=0 \\ \ddot{x_{2}}+\frac{k_{2}+k_{3}}{m_{2}}x_{2}-\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{1} &=0 \end{align*} \right. $$
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