결합 진동
📂고전역학 결합 진동 단순 결합 진동
두 물체 m 1 m_{1} m 1 m 2 m_{2} m 2 m 1 m_{1} m 1 x 1 x_{1} x 1 m 2 m_{2} m 2 x 2 x_{2} x 2 − k 1 x 1 -k_{1}x_{1} − k 1 x 1 − k 2 ( x 1 − x 2 ) -k_{2}(x_{1}-x_{2}) − k 2 ( x 1 − x 2 )
m 1 x 1 ¨ = − k 1 x 1 − k 2 ( x 1 − x 2 ) ⟹ x 1 ¨ + k 1 + k 2 m 1 x 1 − k 2 m 1 x 2 = 0
\begin{align*}
&& m_{1}\ddot{x_{1}} &=-k_{1}x_{1}-k_{2}(x_{1}-x_{2})
\\ \implies && \ddot{x_{1}}+ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}}x_{1}-\frac{k_{2}}{m_{1}}x_{2}&=0
\end{align*}
⟹ m 1 x 1 ¨ x 1 ¨ + m 1 k 1 + k 2 x 1 − m 1 k 2 x 2 = − k 1 x 1 − k 2 ( x 1 − x 2 ) = 0
물체2는 용수철2가 늘어난 만큼 왼쪽으로 당겨지므로 용수철2가 물체2에 가하는 힘은 − k 2 ( x 2 − x 1 ) -k_{2}(x_{2}-x_{1}) − k 2 ( x 2 − x 1 )
m 2 x 2 ¨ = − k 2 ( x 2 − x 1 ) ⟹ x 2 ¨ + k 2 m 2 x 2 − k 2 m 2 x 1 = 0
\begin{align*}
&& m_{2}\ddot{x_{2}} &= -k_{2}(x_{2}-x_{1})
\\ \implies && \ddot{x_{2}}+\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{2}-\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{1} &=0
\end{align*}
⟹ m 2 x 2 ¨ x 2 ¨ + m 2 k 2 x 2 − m 2 k 2 x 1 = − k 2 ( x 2 − x 1 ) = 0
따라서 위 그림과 같은 시스템의 운동 방정식은 다음과 같은 연립 미분 방정식으로 나타난다.
{ x 1 ¨ + k 1 + k 2 m 1 x 1 − k 2 m 1 x 2 = 0 x 2 ¨ + k 2 m 2 x 2 − k 2 m 2 x 1 = 0
\left\{ \begin{align*}
\ddot{x_{1}}+ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}}x_{1}-\frac{k_{2}}{m_{1}}x_{2}&=0
\\ \ddot{x_{2}}+\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{2}-\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{1} &=0
\end{align*} \right.
⎩ ⎨ ⎧ x 1 ¨ + m 1 k 1 + k 2 x 1 − m 1 k 2 x 2 x 2 ¨ + m 2 k 2 x 2 − m 2 k 2 x 1 = 0 = 0
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스프링이 3개인 결합 진동
물체 m 1 m_{1} m 1 − k 1 x 1 -k_{1}x_{1} − k 1 x 1 − k 2 ( x 1 − x 2 ) -k_{2}(x_{1}-x_{2}) − k 2 ( x 1 − x 2 )
x 1 ¨ + k 1 + k 2 m 1 x 1 − k 2 m 1 x 2 = 0
\ddot{x_{1}}+ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}}x_{1}-\frac{k_{2}}{m_{1}}x_{2}=0
x 1 ¨ + m 1 k 1 + k 2 x 1 − m 1 k 2 x 2 = 0
물체 m 2 m_{2} m 2 − k 2 ( x 2 − x 1 ) -k_{2}(x_{2}-x_{1}) − k 2 ( x 2 − x 1 ) − k 3 x 2 -k_{3}x_{2} − k 3 x 2
m 2 x 2 ¨ = − k 2 ( x 2 − x 1 ) − k 3 x 2 ⟹ x 2 ¨ + k 2 + k 3 m 2 x 2 − k 2 m 2 x 1 = 0
\begin{align*}
&& m_{2}\ddot{x_{2}} &= -k_{2}(x_{2}-x_{1})-k_{3}x_{2}
\\ \implies && \ddot{x_{2}}+\frac{k_{2}+k_{3}}{m_{2}}x_{2}-\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{1} &=0
\end{align*}
⟹ m 2 x 2 ¨ x 2 ¨ + m 2 k 2 + k 3 x 2 − m 2 k 2 x 1 = − k 2 ( x 2 − x 1 ) − k 3 x 2 = 0
시스템 전체의 운동 방정식은 아래와 같은 연립 미분 방정식으로 나타난다.
{ x 1 ¨ + k 1 + k 2 m 1 x 1 − k 2 m 1 x 2 = 0 x 2 ¨ + k 2 + k 3 m 2 x 2 − k 2 m 2 x 1 = 0
\left\{ \begin{align*}
\ddot{x_{1}}+ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}}x_{1}-\frac{k_{2}}{m_{1}}x_{2}&=0
\\ \ddot{x_{2}}+\frac{k_{2}+k_{3}}{m_{2}}x_{2}-\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{1} &=0
\end{align*} \right.
⎩ ⎨ ⎧ x 1 ¨ + m 1 k 1 + k 2 x 1 − m 1 k 2 x 2 x 2 ¨ + m 2 k 2 + k 3 x 2 − m 2 k 2 x 1 = 0 = 0
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