다중 스프링 진동
스프링이 물체의 양쪽에 연결된 경우
$x$를 물체가 이동한 거리라고 하자. 스프링의 복원력은 $-kx$이므로 물체는 왼쪽 스프링으로부터 $-k_{1}x$, 오른쪽 스프링으로부터 $-k_{2}x$의 힘을 받는다. 따라서 운동 방정식은 다음과 같다.
$$ \begin{align*} && m\ddot{x}&=-k_{1}x-k_{2}x \\ \implies &&m\ddot{x}+(k_{1}+k_{2})x&=0 \\ \implies && \ddot{x}+\frac{k_{1}+k_{2}}{m}x &=0 \end{align*} $$
이는 단순 조화 진동의 방정식과 같으므로 해는 아래와 같다.
$$ \begin{align*} x(t) &= A\cos(\omega_{p} t + \phi) \end{align*} $$
여기서 $A$는 진폭, $\omega_{p} =\sqrt{\frac{k_{1}+k_{2}}{m}}$는 진동수이다. 즉, 단순 조화 진동의 해에서 두 용수철 상수를 더해준 것과 같다.
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서로 다른 용수철이 하나로 연결된 경우
용수철1이 늘어난 길이를 $x_{1}$, 용수철2가 늘어난 길이를 $x_{2}$라고 하자. 작용-반작용의 법칙에 의해 용수철1이 용수철2에 가하는 힘은 용수철2가 용수철1에 가하는 힘의 크기는 서로 같다. 따라서 다음의 식을 얻는다.
$$ \begin{equation} \left| F_{12} \right| =\left| F_{21} \right| \quad \implies \quad k_{1}x_{1}=k_{2}x_{2} \label{eq1} \end{equation} $$
이때 물체가 이동한 거리는 $x=x_{1}+x_{2}$이다. 결합된 용수철을 용수철 상수가 $k$인 하나의 용수철이라 생각하면 운동 방정식은 아래와 같다.
$$ \begin{equation} F = -kx \label{eq2} \end{equation} $$
이때 용수철1이 가하는 힘은 용수철2가 용수철1에 가하는 힘과 상쇄되므로 알짜힘은 $F=-k_{2}x_{2}$이다. 그러면 $\eqref{eq1}$, $\eqref{eq2}$에 의해 다음과 같다.
$$ \left| F \right|=kx=k_{1}x_{1}=k_{2}x_{2} $$
따라서 아래의 식이 성립한다.
$$ \begin{align*} && x&=x_{1}+x_{2} \\ \implies && \frac{\left| F \right| }{k} &=\frac{ \left| F \right| }{k_{1}}+\frac{\left| F \right| }{k_{2}} \\ \implies && \frac{1}{k} &=\frac{1}{k_{1}}+\frac{1 }{k_{2}} \\ \implies&& k&=\frac{k_{1}k_{2}}{k_{1}+k_{2}} \end{align*} $$
그러므로 $\eqref{eq2}$를 다시 적으면 다음과 같다. $$ F=-kx=-\frac{k_{1}k_{2}}{k_{1}+k_{2}}x $$
$\omega_{s}^{2}=\frac{k_{1}k_{2}}{k_{1}+k_{2}}$라고 하면 운동 방정식의 해는 아래와 같이 주어진다.
$$ x(t) = A \cos (\omega_{s} t +\phi) $$
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