📂푸리에해석

멀티레졸루션 아날리시스

정의

$L^{2}(\mathbb{R})$의 닫힌 부분공간들의 수열 $\left\{V_{j}\right\}_{j \in \mathbb{Z}}$와 함수 $\phi \in V_{0}$가 아래의 조건을 만족하면 $\left( \left\{ V_{j} \right\}, \phi \right)$를 멀티레졸루션 아날리시스^{multiresolution analysis} 라 한다.

(a) 각 $V_{j}$에 대해서 $\cdots V_{-1} \subset V_{0} \subset V_{1}\cdots$가 성립한다.

(b) $\overline{\cup_{j\in\mathbb{Z}}V_{j}}=L^{2}(\mathbb{R})$이고 $\cap_{j\in\mathbb{Z}}V_{j}=\left\{ 0\right\}$이다.

(c) $\forall j\in \mathbb{Z}$, $V_{j+1}=D(V_{j})$이다.

(d) $\forall k \in \mathbb{Z}$, $f \in V_{0}$이면 $T_{k}f \in V_{0}$이다.

(e) $\left\{ T_{k} \phi\right\}_{k\in \mathbb{Z}}$가 $V_{0}$의 정규직교기저이다.

$(\left\{ V_{j} \right\},\phi)$가 멀티레졸루션 아날리시스이면, $\phi$가 멀티레졸루션 아날리시스를 생성한다^generate고 말한다. $T_{k}$는 트랜슬레이션, $D$는 다일레이션이다.

설명

조건 (b) 는 $\cup_{j}V_{j}$가 $L^{2}(\mathbb{R})$에서 덴스하다는 의미이므로, 어떤 $f \in L^{2}(\mathbb{R})$로 근사하는 $g \in \cup_{j}V_{j}$가 존재한다는 뜻이다. 그런 $g$가 $V_{J}$에 속해있다면 조건 (a) 에 의해서, $g$는 $j \ge J$인 모든 $V_{j}$에 포함된다. 또한 정의로부터 아래의 사실들이 성립한다.

정리

정의의 (c), (d) 가 성립하면 모든 $j \in \mathbb{Z}$에 대해서 아래의 두 사실도 성립한다.

(f) $V_{j}=D^{j}(V_{0})$

(g) $V_{j}=\overline{\text{span}}\left\{ D^{j}T_{k}\phi \right\}$

증명

(f)

(c) 가 성립한다고 하자. 그러면 모든 $j \in \mathbb{N}$에 대해서

$$V_{j}=D(V_{j-1})=DD(V_{j-2})=\cdots=D^{j}V(_{0})$$

또한 모든 $j \in \left\{ -1,-2,\cdots \right\}$에 대해서

$$V_{j}=D^{-1}(V_{j+1})=D^{-1}D^{-1}(V_{j+2})=\cdots=(D^{-1})^{-j}(V_{0})=D^{j}(V_{0})$$

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(g)

$\left\{ T_{k}\phi \right\}_{k\in \mathbb{Z}}$가 $V_{0}$의 정규직교기저이므로

$$V_{0}=\overline{\text{span}}\left\{ T_{k}\phi \right\}_{k\in \mathbb{Z}}$$

이 성립한다. 그러면 (f) 에 의해서

$$V_{j}=D^{j}(V_{0})=D^{j}\left( \overline{\text{span}}\left\{ T_{k}\phi \right\}_{k\in \mathbb{Z}} \right)=\overline{\text{span}}\left\{ D^{j}T_{k}\phi \right\}_{k\in \mathbb{Z}}$$

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