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극한 비교 판정법 📂미분적분학

극한 비교 판정법

정리1

급수 an\sum a_{n}bn\sum b_{n}에 대해서 an,bn>0a_{n}, b_{n} \gt 0이라 하자. 만약 양수 c>0c \gt 0에 대해서

limnanbn=c \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n}}{b_{n}} = c

이 성립하면, 두 급수는 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다.

설명

이를 극한 비교 판정법the limit comparison test이라 한다. 비교판정법은 직관적이고 유용하지만, 수렴하는 수열보다 각 항이 작은 급수의 수렴성만을 판별할 수 있다. 가령 12n\sum \dfrac{1}{2^{n}}r=12r = \dfrac{1}{2}기하급수이므로 수렴하는데, 비교판정법으로부터 12n+1\sum \dfrac{1}{2^{n} + 1}도 수렴한다는 것을 알 수 있다. 하지만 급수 12n1\sum \dfrac{1}{2^{n} - 1}의 경우 수렴하지만 12n1>12n\dfrac{1}{2^{n} - 1} \gt \dfrac{1}{2^{n}}이므로 비교판정법을 통해서 알 수는 없다. 극한 비교 판정법은 이런 경우에 사용하기 좋다.

증명

mmMMm<c<Mm \lt c \lt M을 만족하는 양수라 하자. limnanbn=c\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n}}{b_{n}} = c이므로 충분히 큰 NN에 대해서 다음이 성립한다.

m<anbn<MnN m \lt \dfrac{a_{n}}{b_{n}} \lt M \qquad \forall n \ge N

    mbn<an<MbnnN \implies m \cdot b_{n} \lt a_{n} \lt M \cdot b_{n} \qquad \forall n \ge N

만약에 bn\sum b_{n}이 수렴하면 Mbn\sum M \cdot b_{n}도 수렴하고, 비교판정법에 의해 an\sum a_{n}도 수렴한다. 반대로 bn\sum b_{n}이 발산하면 mbn\sum m \cdot b_{n}도 발산하고, 비교판정법에 의해 an\sum a_{n}도 발산한다.

같은 논리로 an\sum a_{n}이 수렴하면 bn\sum b_{n}도 수렴하고, an\sum a_{n}이 발산하면 bn\sum b_{n}도 발산한다.


  1. James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E), p762 ↩︎