극한 비교 판정법
📂미분적분학극한 비교 판정법
정리
두 급수 ∑an과 ∑bn에 대해서 an,bn>0이라 하자. 만약 양수 c>0에 대해서
n→∞limbnan=c
이 성립하면, 두 급수는 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다.
설명
이를 극한 비교 판정법the limit comparison test이라 한다. 비교판정법은 직관적이고 유용하지만, 수렴하는 수열보다 각 항이 작은 급수의 수렴성만을 판별할 수 있다. 가령 ∑2n1은 r=21인 기하급수이므로 수렴하는데, 비교판정법으로부터 ∑2n+11도 수렴한다는 것을 알 수 있다. 하지만 급수 ∑2n−11의 경우 수렴하지만 2n−11>2n1이므로 비교판정법을 통해서 알 수는 없다. 극한 비교 판정법은 이런 경우에 사용하기 좋다.
증명
m과 M이 m<c<M을 만족하는 양수라 하자. n→∞limbnan=c이므로 충분히 큰 N에 대해서 다음이 성립한다.
m<bnan<M∀n≥N
⟹m⋅bn<an<M⋅bn∀n≥N
만약에 ∑bn이 수렴하면 ∑M⋅bn도 수렴하고, 비교판정법에 의해 ∑an도 수렴한다. 반대로 ∑bn이 발산하면 ∑m⋅bn도 발산하고, 비교판정법에 의해 ∑an도 발산한다.
같은 논리로 ∑an이 수렴하면 ∑bn도 수렴하고, ∑an이 발산하면 ∑bn도 발산한다.
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