📂미분적분학

극한 비교 판정법

정리¹

두 급수 $\sum a_{n}$과 $\sum b_{n}$에 대해서 $a_{n}, b_{n} \gt 0$이라 하자. 만약 양수 $c \gt 0$에 대해서

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n}}{b_{n}} = c $$

이 성립하면, 두 급수는 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다.

설명

이를 극한 비교 판정법^{the limit comparison test}이라 한다. 비교판정법은 직관적이고 유용하지만, 수렴하는 수열보다 각 항이 작은 급수의 수렴성만을 판별할 수 있다. 가령 $\sum \dfrac{1}{2^{n}}$은 $r = \dfrac{1}{2}$인 기하급수이므로 수렴하는데, 비교판정법으로부터 $\sum \dfrac{1}{2^{n} + 1}$도 수렴한다는 것을 알 수 있다. 하지만 급수 $\sum \dfrac{1}{2^{n} - 1}$의 경우 수렴하지만 $\dfrac{1}{2^{n} - 1} \gt \dfrac{1}{2^{n}}$이므로 비교판정법을 통해서 알 수는 없다. 극한 비교 판정법은 이런 경우에 사용하기 좋다.

증명

$m$과 $M$이 $m \lt c \lt M$을 만족하는 양수라 하자. $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n}}{b_{n}} = c$이므로 충분히 큰 $N$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ m \lt \dfrac{a_{n}}{b_{n}} \lt M \qquad \forall n \ge N $$

$$ \implies m \cdot b_{n} \lt a_{n} \lt M \cdot b_{n} \qquad \forall n \ge N $$

만약에 $\sum b_{n}$이 수렴하면 $\sum M \cdot b_{n}$도 수렴하고, 비교판정법에 의해 $\sum a_{n}$도 수렴한다. 반대로 $\sum b_{n}$이 발산하면 $\sum m \cdot b_{n}$도 발산하고, 비교판정법에 의해 $\sum a_{n}$도 발산한다.

같은 논리로 $\sum a_{n}$이 수렴하면 $\sum b_{n}$도 수렴하고, $\sum a_{n}$이 발산하면 $\sum b_{n}$도 발산한다.

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