📂고전역학

직교좌표계에서의 속도와 가속도

직교좌표계에서의 속도와 가속도

$$\begin{align*} \mathbf{r} &= x \hat{\mathbf{x}} + y \hat{\mathbf{y}} + z \hat{\mathbf{z}} \\ \mathbf{v} &= \dot{\mathbf{r}} = \dot{x} \hat{\mathbf{x}} + \dot{y} \hat{\mathbf{y}} + \dot{z} \hat{\mathbf{z}} \\ \mathbf{a} &= \dot{\mathbf{v}} = \ddot{\mathbf{r}} = \ddot{x} \hat{\mathbf{x}} + \ddot{y} \hat{\mathbf{y}} +\ddot{z}\hat{\mathbf{z}} \end{align*}$$

유도

직교좌표계에서 속도와 가속도를 구하는건 아주 간단하다.

속도

$\mathbf{r}$을 $t$로 미분하면 다음과 같다.

$$\mathbf{v}=\frac{d}{dt}(x\hat{\mathbf{x}} +y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}})=\dot{x} \hat{\mathbf{x}} + x\dot{\hat{\mathbf{x}}}+\dot{y} \hat{\mathbf{y}} + y\dot{\hat{\mathbf{y}}} +\dot{z} \hat{\mathbf{z}} + z\dot{\hat{\mathbf{z}}}$$

직교좌표계의 단위벡터는 시간의 변화에 무관하므로 $\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\dot{\hat{\mathbf{y}}}=\dot{\hat{\mathbf{z}}} = 0$이고, 따라서 다음과 같다.

$$\mathbf{v} = \dot{x} \hat{\mathbf{x}} + \dot{y} \hat{\mathbf{y}} + \dot{z} \hat{\mathbf{z}}$$

참고로 $\dot{r}$은 [알 돗(도트)]이라고 읽는다. 물리학에서 문자 위의 점은 시간에 대한 미분이라는 뜻이다.

가속도

$\mathbf{v}$를 $t$로 미분하면 다음과 같다.

$$\mathbf{a}=\frac{d}{dt}(\dot{x} \hat{\mathbf{x}}+\dot{y} \hat{\mathbf{y}}+\dot{z} \hat{\mathbf{z}})=\ddot{x} \hat{\mathbf{x}}+\ddot{y} \hat{\mathbf{y}}+\ddot{z}\hat{\mathbf{z}}$$

같이보기

• 극좌표계에서 속도와 가속도
• 원통좌표계에서 속도와 가속도
• 구좌표계에서 속도와 가속도