📂동역학

랴푸노프 함수

정의¹

공간 $X$ 와 함수 $f : X \to X$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ \dot{x} = f(x) $$ 위와 같은 자율 시스템의 한 점 $x_{0} \in X$ 이 주어져 있다고 할 때, $x_{0}$ 의 네이버후드 $\mathcal{N} \left( x_{0} \right)$ 에서 정의된 스칼라 함수 $V \in C^{1} \left( \mathcal{N} (x_{0}) , \mathbb{R} \right)$ 가 다음의 조건을 만족하면 랴푸노프 함수^{Liapunov function}라고 한다.

• (i): $V(x_{0}) = 0$ 이고, $x \ne x_{0}$ 이면 $V(x) > 0$
• (ii): $x \in \mathcal{N} \left( x_{0} \right) \setminus \left\{ x_{0} \right\}$ 에서 $V ' (x) \le 0$

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• $C^{1}(A,B)$ 는 정의역이 $A$ 고 공역이 $B$ 이면서 미분가능하고 그 도함수가 연속인 함수들의 집합을 의미한다.
• $V$ 가 $C^{1} \left( \mathcal{N} (x_{0}) , \mathbb{R} \right)$ 에 속한다는 것은 $x_{0}$ 근방에서 정의된 스칼라 함수며 미분가능하고 $v '$ 이 연속이라는 의미다.

설명

랴푸노프 함수는 주어진 시스템 $\dot{x} = f(x)$ 에 의존해서 존재할 수도 있는 함수로써, 특히 $X = \mathbb{R}^{n}$ 일 때 고정점 $x_{0} = \overline{x}$ 의 안정성을 확인하기 위해 고려될 수 있다. 랴푸노프 함수의 존재성은 곧 안정성을 의미하며, $V$ 는 시스템 $f$ 에 따라 적절하게 정의되어야하는 함수다. $v '$ 는 말 그대로 시간 $t$ 에 대한 미분으로써, $V$ 를 미분했을 때 $\dot{x}$ 에 대한 항이 생겨남으로써 $f$ 와의 관계가 드러나게 된다.

이런 설명에 따르면 언뜻 랴푸노프 함수가 비선형 시스템을 파악하는 만능 도구인 것 같지만, 애초에 비선형 시스템이 어려우니만큼 이 랴푸노프 함수를 찾는다는 게 그리 간단하지가 않다. 랴푸노프 함수를 일반적으로 찾는 방법은 없으며, 하나의 중요한 시스템에 대해서라도 이 랴푸노프 함수를 찾는 것 자체가 연구 주제가 될 수 있을 정도로 어려운 일이다.

예시

아주 간단한 예로써 랴푸노프 함수를 찾는 과정을 살펴보자: $$ \begin{align*} \dot{x} =& -x + 4y \\ \dot{y} =& -x - y^{3} \end{align*} $$ 이 시스템에는 고정점 $(0,0)$ 이 주어져 있다. 언급했듯 일반적으로 랴푸노프 함수를 찾는 방법은 없기 때문에 직관이 동원될 수밖에 없다. 랴푸노프 함수를 찾는것에 익숙해진다면야 그 함수를 찾는것도 빨라질 것이다. 우리는 여기서 $V(x,y) = x^{2} + a y^{2}$ 가 랴푸노프 함수가 된다고 가정하고, $a \ge 0$ 의 값을 특정하는 방법으로 찾아볼 것이다.

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Part 1.

$V(0,0) = 0$ 이고, $(x,y) \ne (0,0)$ 이면 $V(x,y) > 0$ 이다. $(0,0)$ 에서 $V = 0$ 이고, $a$ 가 음이 아니라고 가정했으므로 $V > 0$ 이다.

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Part 2.

$(x,y) \in \mathcal{N} \left( (0,0) \right) \setminus \left\{ (0,0) \right\}$ 에서 $V ' (x,y) \le 0$ 다. $V$ 를 $t$ 로 미분하면 $$ \begin{align*} {{ d V } \over { d t }} =& 2 x \dot{x} + 2 a y\dot{y} \\ =& 2x(-x+4y) + 2ay \left( -x-y^{3} \right) \\ =& -2x^{2} + (8-2a)xy - 2ay^{2} \end{align*} $$ 여기서 $a=4$ 면 $V ' <0$ 이다.

따라서 고정점 $(0,0)$ 이 주어져 있을 때 랴푸노프 함수는 $V(x,y) = x^{2} + 4 y^{2}$ 로 존재한다는 것을 보장할 수 있으며, 그 존재성에 따라 $(0,0)$ 이 랴푸노프 안정성을 가진다는 것도 알 수 있다.