수렴하는 급수의 성질
정리
두 급수 $\sum a_{n}$과 $\sum b_{n}$이 수렴하면, 급수 $\sum c a_{n}$ ($c$는 상수), $\sum (a_{n} \pm b_{n})$도 수렴하고 다음이 성립한다.
- $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} c a_{n} = c \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n}$
- $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} \pm \sum\limits_{n = 1}^{\infty} b_{n}$
설명
급수의 상수곱과 두 급수의 합이 자연스럽게 된다는 것인데, "수렴하는" 급수에 대해서만 성립한다는 것에 주의하자.
증명
1.
$$ \begin{align*} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} c a_{n} &= \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} c a_{n} \\ &= \lim\limits_{N \to \infty} c \sum\limits_{n = 1}^{N} a_{n} \\ &= c \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} a_{n} \\ &= c \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} \\ \end{align*} $$
첫번째 등호는 급수의 정의, 세번째 등호는 극한의 성질에 의해 성립한다.
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2.
$$ \begin{align*} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) &= \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} (a_{n} \pm b_{n}) \\ &= \lim\limits_{N \to \infty} \left(\sum\limits_{n = 1}^{N} a_{n} \pm \sum\limits_{n = 1}^{N} b_{n}\right) \\ &= \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} a_{n} \pm \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} b_{n} \\ &= \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} \pm \sum\limits_{n = 1}^{\infty} b_{n} \\ \end{align*} $$
첫번째 등호는 급수의 정의, 두번째 등호는 합 $\sum$의 성질, 세번째 등호는 극한의 성질에 의해 성립한다.
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