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수렴하는 급수의 성질 📂미분적분학

수렴하는 급수의 성질

정리

두 급수 ∑an\sum a_{n}과 ∑bn\sum b_{n}이 수렴하면, 급수 ∑can\sum c a_{n} (cc는 상수), ∑(an±bn)\sum (a_{n} \pm b_{n})도 수렴하고 다음이 성립한다.

  1. ∑n=1∞can=c∑n=1∞an\sum\limits_{n = 1}^{\infty} c a_{n} = c \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n}
  2. ∑n=1∞(an±bn)=∑n=1∞an±∑n=1∞bn\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} \pm \sum\limits_{n = 1}^{\infty} b_{n}

설명

급수의 상수곱과 두 급수의 합이 자연스럽게 된다는 것인데, "수렴하는" 급수에 대해서만 성립한다는 것에 주의하자.

증명

1.

∑n=1∞can=lim⁡N→∞∑n=1Ncan=lim⁡N→∞c∑n=1Nan=clim⁡N→∞∑n=1Nan=c∑n=1∞an \begin{align*} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} c a_{n} &= \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} c a_{n} \\ &= \lim\limits_{N \to \infty} c \sum\limits_{n = 1}^{N} a_{n} \\ &= c \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} a_{n} \\ &= c \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} \\ \end{align*}

첫번째 등호는 급수의 정의, 세번째 등호는 극한의 성질에 의해 성립한다.

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2.

∑n=1∞(an±bn)=lim⁡N→∞∑n=1N(an±bn)=lim⁡N→∞(∑n=1Nan±∑n=1Nbn)=lim⁡N→∞∑n=1Nan±lim⁡N→∞∑n=1Nbn=∑n=1∞an±∑n=1∞bn \begin{align*} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) &= \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} (a_{n} \pm b_{n}) \\ &= \lim\limits_{N \to \infty} \left(\sum\limits_{n = 1}^{N} a_{n} \pm \sum\limits_{n = 1}^{N} b_{n}\right) \\ &= \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} a_{n} \pm \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} b_{n} \\ &= \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} \pm \sum\limits_{n = 1}^{\infty} b_{n} \\ \end{align*}

첫번째 등호는 급수의 정의, 두번째 등호는 합 ∑\sum의 성질, 세번째 등호는 극한의 성질에 의해 성립한다.

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