미분방정식으로 표현되는 시스템에서 고정점의 분류
정의
공간 $X$ 와 함수 $f \in C^{1}(X,X)$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ \dot{x} = f(x) $$ $\overline{x}$ 가 이 미분방정식로 표현되는 시스템의 한 고정점이라 하고 자코비안 행렬 $D f \left( \overline{x} \right)$ 의 아이겐 밸류들을 $\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{m}$ 이라 하자.
하이퍼볼릭: 쌍곡 고정점1
- Hyperbolic: $D f \left( \overline{x} \right)$ 의 모든 아이겐 밸류들의 실수부가 $0$ 이 아니면 $\overline{x}$ 가 하이퍼볼릭하다고 말한다.
$$
\operatorname{Re} \left( \lambda_{1} \right) \ne 0 , \cdots , \operatorname{Re} \left( \lambda_{m} \right) \ne 0
$$
- Saddle: $\overline{x}$ 가 하이퍼볼릭하고 $D f \left( \overline{x} \right)$ 가 실수부가 양수인 아이겐 밸류와 음수인 아이겐 밸류를 적어도 하나씩 가지면 $\overline{x}$ 가 새들이라고 한다. $$ \exists i, j \in [1,m] : \operatorname{Re} \left( \lambda_{i} \right) > 0 \land \operatorname{Re} \left( \lambda_{j} \right) < 0 $$
- Sink : $D f \left( \overline{x} \right)$ 의 모든 아이겐 밸류들의 실수부가 음수면 $\overline{x}$ 가 스테이블stable하다고 말하고 싱크라고 한다. $$ \operatorname{Re} \left( \lambda_{1} \right) < 0 , \cdots , \operatorname{Re} \left( \lambda_{m} \right) < 0 $$
- Source : $D f \left( \overline{x} \right)$ 의 모든 아이겐 밸류들의 실수부가 양수면 $\overline{x}$ 가 언스테이블untable하고 말하고 소스라고 한다. $$ \operatorname{Re} \left( \lambda_{1} \right) > 0 , \cdots , \operatorname{Re} \left( \lambda_{m} \right) > 0 $$
일립틱: 타원 고정점2
- Elliptic, Center : $D f \left( \overline{x} \right)$ 의 모든 아이겐 밸류들이 순허수면 $\overline{x}$ 가 일립틱하다고 말하고 센터라고 한다. $$ \operatorname{Im} \left( \lambda_{1} \right) = \lambda_{1} , \cdots , \operatorname{Im} \left( \lambda_{m} \right) = \lambda_{m} $$
- $\Re$ 와 $\Im$ 는 각각 복소수에서 실수부와 허수부만을 취하는 함수들이다.
설명
정의에서는 그렇게 말하지 않지만, 하이퍼볼릭이냐 아니냐는 쉽게 말해 시스템이 간단하냐 간단하지 않냐와 거의 상통한다. 시스템을 동역학적으로 분석함에 있어서 문제가 되는 경우는 아이겐 밸류가 $0$ 인 경우가 대부분으로, 하이퍼볼릭이면 그런 골칫거리를 생각하지 않아도 되기 때문에 분석도 간단해진다.
주의사항
정의를 마치 정리로 받아들여서 하이퍼볼릭 고정점이 새들이거나, 스테이블이거나, 언스테이블이거나 셋 중 하나라고 말해선 안 된다. 스테이블이 아니면 언스테이블하고, 당연히 새들은 언스테이블하다3.
아이겐 밸류 중 하나가 $0$ 이고 주변의 점이 모두 모여드는 고정점을 상상해보면 좋다. 이 상상 속의 고정점은 하이퍼볼릭하지도 않고 일립틱하지도 않지만 그 성질 상 스테이블하고, 단지 아이겐 밸류만으로 이것이 안정적이라고 말을 할 수는 없는 것이다. 물론 안정적인 고정점의 경우엔 이런 점이 존재할 수 없기 때문에 이들을 동치로 받아들이기 쉽지만, 정의와 논리에만 입각해서 이를 정확히 구분할 수 있어야 한다.
- 모든 아이겐 밸류가 음수라면 그건 볼 것도 없이 언스테이블이다.
- 하지만 모든 아이겐 밸류가 음수가 아닌 새들이라면 그건 스테이블이 아니다. 그래서 언스테이블이라고 말하긴하는데, 그건 모든 아이겐 밸류가 음수라서 언스테이블이라고 한 것이 아니라 스테이블이 아니기 때문에 언스테이블이라고 한 것이다.
예시
예로써 더핑 오실레이터를 생각해보자: $$ \begin{align*} \dot{x} =& y \\ \dot{y} =& x - x^{3} - \delta y \qquad , \delta \ge 0 \end{align*} $$ 더핑 오실레이터의 고정점은 $(x,y) = (0,0) , (\pm 1 , 0)$ 이고 자코비안은 $$ D \mathbb{f} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 - 3 x^{2} & - \delta \end{bmatrix} $$ 이므로 고정점의 자코비안은 $$ D \mathbb{f} (0,0) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & - \delta \end{bmatrix} \\ D \mathbb{f} (\pm1,0) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & - \delta \end{bmatrix} $$ 이다. 이들의 아이겐 밸류들을 계산해보면 $(0,0)$ 일 때 $$ \det ( D \mathbb{f} (0,0) - \lambda E ) = \det \begin{bmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda - \delta \end{bmatrix} = \lambda^{2} + \delta \lambda - 1 $$ 이므로 근의 공식에 따라 $$ \lambda_{1,2} = {{ -\delta \pm \sqrt{\delta^{2} + 4 } } \over { 2 }} $$ 이다. $D \mathbb{f} (0,0)$ 의 아이겐 밸류는 $\delta \ge 0$ 에 대해 항상 양수 하나와 음수 하나이므로 고정점 $(0,0)$ 은 새들이다. 비슷한 방법으로 $D \mathbb{f} (\pm1,0)$ 의 아이겐 밸류를 계산해보면 $$ \lambda_{1,2} = {{ -\delta \pm \sqrt{\delta^{2} - 8 } } \over { 2 }} $$ 이므로 $D \mathbb{f} (\pm1,0)$ 의 아이겐 밸류는 $\delta > 0$ 일 때 모두 음수고, 고정점 $(\pm1,0)$ 은 싱크다. 그러나 $\delta = 0$ 일 때는 순허수 $\lambda_{1,2} = \pm \sqrt{2} i$ 이므로 고정점 $(\pm1,0)$ 은 센터다.
위 예시에서 우리는 각 고정점에서 자코비안을 구하고, 파라미터 $\delta$ 의 세팅에 따라 안정성이 어떻게 변하는지를 살펴보았다. 그리고 이러한 분석은 벡터필드로 시스템을 나타냈다면 동역학의 어떤 논문이든 비슷하게 사용하는 방법이다. 적어도 한 번은 반드시 직접 따라해보도록 하자.