원 위의 한 점에서의 접선의 방정식 구하기
설명
원 $x^2+y^2=r^2$위의 한 점$(x_{1},y_{1})$에서의 접선의 방정식을 구해보자. $y_{1}\neq 0$인 경우와 $y_{1}=0$인 경우로 나눌 수 있다.
$y_{1}\neq 0$
원의 중심에서 접점까지의 기울기는 $\dfrac{y_{1}}{x_{1}}$이다. 서로 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 -1이므로, 접선의 기울기는 $-\dfrac{x_{1}}{y_{1}}$이다. 점 $(x_{1},y_{1})$을 지나고 기울기가 $-\dfrac{x_{1}}{y_{1}}$인 직선의 방정식은
$$y-y_{1}=-\frac{x_{1}}{y_{1}}(x-x_{1})$$
$$\implies y_{1}y-y_{1}^2=-x_{1}x+x_{1}^2$$
$$\implies x_{1}x+y_{1}y=x_{1}^2+y_{1}^2=r^2$$
따라서 $y_{1}\neq 0$일 때 접선의 방정식은
$$x_{1}x+y_{1}y=r^2$$
$y_{1}=0$
그림을 보면 알 수 있듯이 $(x_{1},0)$일 때 $x=x_{1}=\pm r$이다. 그런데 $y_{1}\neq 0$일 때 접선의 방정식에 $y_{1}=0$을 대입하면 똑같은 모양이 나온다. 즉 $y_{1}\neq 0$일 때나 $y_{1}=0$일 때나 같은 식이다. 따라서 원$x^2+y^2=r^2$위의 한 점$(x_{1},y_{1})$에서의 접선의 방정식은 $x_{1}x+y_{1}y=r^2$이다.