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거리공간에서 컴팩트인 조건의 중요성

개요

해석학의 많은 정리에서 컴팩트를 필요조건으로 요구한다 (참고1, 참고2, 참고3, 참고4). 증명 과정에서 컴팩트하다는 가정을 쓰기 때문에 ‘컴팩트하면 된다’는 것은 당연히 받아들이겠지만, ‘컴팩트가 아니면 안된다’는 것에 의문이 생길 수 있다. 만약 컴팩트하다는 조건이 없으면 아래와 같은 안좋은 상황들이 일어날 수 있다.

정리¹

$E\subset \mathbb{R}$이 컴팩트가 아닌 집합이라고 하자. 그러면

(a) $E$위에서 정의된 유계가 아닌 연속 함수가 존재한다.

(b) $E$위에서 정의된 연속이고 유계이지만 최댓값을 가지지 않는 함수가 존재한다.

(c) 이제 $E$가 유계라는 조건이 추가됐다고 하자. 그러면 $E$위에서 정의된 연속이지만 균등연속이 아닌 함수가 존재한다.

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(a), (b), (c)는 각각 '컴팩트 거리공간에서 연속인 함수는 유계', '최대최소정리', '컴팩트 거리공간에서 연속 함수는 균등연속'이 성립하려면 컴팩트라는 조건이 필요함을 보여준다.

증명

(c)

$\mathbb{R}$에서 컴팩트일 동치 조건은 닫혀있으며 유계인 것이다. 따라서 $E$가 유계이기만 하다고 가정해보자. 그러면 닫혀있지 않으므로 $E$에 포함되지 않는 $E$의 집적점이 존재한다. 이 점을 $x_{0}$라고 하자. 그리고 아래와 같은 함수를 생각하자.

$$ f(x)=\frac{1}{x-x_{0}}\quad (x \in E) $$

분자, 분모가 모두 연속함수이므로 $f$도 $E$에서 연속함수이다. $f$는 분명하게 유계가 아니다. 또한 이제 임의의 두 양수 $\varepsilon$, $\delta$에 대해서 아래의 식을 만족하는 $x \in E$를 생각해보자.

$$ \left|x-x_{0} \right|< \delta \implies \left|f(x)-f(x_{0}) \right|<\varepsilon $$

그런데 $t$를 충분히 $x_{0}$에 가깝게 선택해서 함숫값의 차이가 아래와 같이 $\varepsilon$보다 더 크게 만들 수 있다.

$$ \left|t-x_{0} \right|<\delta \implies \left|f(t)-f(x_{0}) \right|>\varepsilon $$

따라서 $f$는 균등연속이 아니다.

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(a)

위에서 사용했던 표기법을 그대로 가져와서 아래와 같은 함수를 생각해보자.

$$ g(x)=\frac{1}{1+(x-x_{0})^{2}}\quad (x\in E) $$

그러면 $g$는 여전히 $E$에서 연속이고, $0<g(x)<1$이므로 유계이다. 그런데

$$ \sup \limits_{x\in E}g(x)=1 $$

이고 $g(x)<1$이므로 $g$는 $E$에서 최댓값을 가지지 못한다. 따라서 $E$에 유계라는 조건만으로는 부족하다는 것을 알 수 있다. 이는 $E$가 유계인 조건에서 보인 것이다. $E$가 유계이지도 않다고 가정해보자. 그러면

$$ f(x)=x $$

는 연속이면서 유계가 아닌 함수이다.

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(b)

$$ h(x)=\frac{x^{2}}{1+x^{2}} \quad (x\in E) $$

를 생각해보자. 그러면 $E$에서 연속이다.

$$ \sup \limits_{x\in E}h(x)=1 $$

인데 모든 $x\in E$에 대해서 $h(x) <1$이므로 $h$는 연속이고 유계이지만 최댓값을 가지지 않는 함수이다.

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