logo

거리공간에서 연속함수일 동치 조건 📂거리공간

거리공간에서 연속함수일 동치 조건

정리1

두 거리공간 (X,dX)(X,d_{X}), (Y,dY)(Y,d_{Y})에 대해서, E⊂XE\subset X이고 p∈Ep \in E, f:E→Yf : E \to Y라고 하자. 그러면 아래의 세 명제는 동치이다.

(1a) ff가 pp에서 연속이다.

(1b) lim⁡x→pf(x)=f(p) \lim \limits_{x \to p} f(x)=f(p)이다.

(1c) lim⁡n→∞pn=p\lim \limits_{n\to\infty} p_{n}=p인 {pn}\left\{ p_{n} \right\}에 대해서, lim⁡n→∞f(pn)=f(p)\lim \limits_{n\to\infty} f(p_{n})=f(p)이다.

증명

■

정리2

두 거리공간 (X,dX)(X,d_{X}), (Y,dY)(Y,d_{Y})에 대해서, f:X→Yf : X \to Y라고 하자. 그러면 아래의 세 명제는 동치이다.

(2a) ff가 XX에서 연속이다.

(2b) 모든 YY의 열린 집합 OYO_{Y}에 대해서 f−1(OY)f^{-1}(O_{Y})는 XX에서 열린 집합이다.

(2c) 모든 YY의 닫힌 집합 CYC_{Y}에 대해서 f−1(CX)f^{-1}(C_{X})는 XX에서 닫힌 집합이다.여기서 f−1f^{-1}는 역함수가 아니라 프리이미지를 의미한다.

증명

  • (2a)   ⟹  \implies (2b)

    ff가 XX에서 연속이라고 가정하자. OYO_{Y}는 YY에서 열린 집합이다. 열린 집합의 정의에 의해 f−1(OY)f^{-1}(O_{Y})의 모든 점이 f−1(OY)f^{-1}(O_{Y})의 내점이라는 것을 보이면 된다. 임의의 f(p)∈OYf(p) \in O_{Y}를 생각해보자. 그러면 p∈f−1(OY)p \in f^{-1}(O_{Y})이다. OYO_{Y}가 오픈이므로 f(p)f(p)는 OYO_{Y}의 내점이다. 따라서

    dY(y,f(p))<ε  ⟹  y∈OY \begin{equation} d_{Y}(y,f(p)) < \varepsilon \implies y \in O_{Y} \label{eq1} \end{equation}

    가 성립하도록 하는 양수 ε\varepsilon가 존재한다. 그러면 ff가 XX에서 연속이므로, 이러한 ε\varepsilon에 대해서

    dX(x,p)<δ  ⟹  dY(f(x),f(p))<ε \begin{equation} d_{X}(x,p) < \delta \implies d_{Y}(f(x),f(p))<\varepsilon \label{eq2} \end{equation}

    가 성립하도록 하는 어떤 δ>0\delta >0가 존재한다. 그런데 (eq1)\eqref{eq1}, (eq2)\eqref{eq2}에 의해

    dX(x,p)<δ  ⟹  dY(f(x),f(p))<ε  ⟹  f(x)∈OY d_{X}(x,p) < \delta \implies d_{Y}(f(x),f(p))<\varepsilon \implies f(x)\in O_{Y}

    이므로 x∈f−1(OY)x \in f^{-1}(O_{Y})이다. 그러면 어떤 양수 δ\delta에 대해서

    dX(x,p)<δ  ⟹  x∈f−1(OY) d_{X}(x,p) < \delta \implies x \in f^{-1}(O_{Y})

    가 성립하므로 pp는 f−1(OY)f^{-1}(O_{Y})의 내점이고 f−1(OY)f^{-1}(O_{Y})는 오픈이다.

    ■

  • (2b)   ⟹  \implies (a2)

    (2b) 를 가정하자. 그리고 임의의 p∈Xp \in X와 ε>0\varepsilon >0을 선택하자. 그리고 집합 OYO_{Y}를 다음과 같다고 하자.

    OY={y:dY(y,f(p))<ε} O_{Y} =\left\{ y : d_{Y}(y,f(p))<\varepsilon \right\}

    그러면 OYO_{Y}는 YY에서 열린 집합이다. 그러면 가정에 의해 f−1(OY)f^{-1}(O_{Y})는 XX에서 열린 집합이다. 따라서

    dX(x,p)<δ  ⟹  x∈f−1(OY) d_{X}(x,p) <\delta \implies x \in f^{-1}(O_{Y})

    를 만족시키는 양수 δ>0\delta >0가 존재한다. 그러면

    x∈f−1(OY)anddX(x,p)<δ  ⟹  dY(f(x),f(p))<ε x\in f^{-1}(O_{Y}) \quad \text{and} \quad d_{X}(x,p)< \delta \implies d_{Y}(f(x),f(p))<\varepsilon

    가 성립하므로 연속의 정의에 의해 ff는 모든 p∈Xp \in X에서 연속이다.

    ■

  • (2b)   ⟺  \iff (2c)

    (2b)   ⟹  \implies (2c) 만 보이면 같은 논리로 반대쪽도 보일 수 있으므로 나머지 증명은 생략한다. (2b) 가 성립한다고 가정하자. YY에서 열린 집합 OYO_{Y}에 대해서 풀어쓰면 아래와 같다.

    OY is open in Y  ⟹  f−1(OY) is open in X O_{Y}\mathrm{\ is\ open\ in\ } Y \implies f^{-1}(O_{Y})\mathrm{\ is\ open\ in\ }X

    열린 집합은 닫힌 집합의 여집합이므로 OY=(CY)cO_{Y}=(C_{Y})^{c}라고 두면 위 문장은 다음과 같다.

    CY is closed in Y  ⟹  f−1((CY)c) is open in X C_{Y}\mathrm{\ is\ closed\ in\ } Y \implies f^{-1}((C_{Y})^{c})\mathrm{\ is\ open\ in\ }X

    그런데 f−1((CY)c)=(f−1(CY))cf^{-1}((C_{Y})^{c})=(f^{-1}(C_{Y}))^{c}이므로 다음이 성립한다.

    CY is closed in Y  ⟹  (f−1(CY))c is open in X C_{Y}\mathrm{\ is\ closed\ in\ } Y \implies (f^{-1}(C_{Y}))^{c}\mathrm{\ is\ open\ in\ }X

    또한 열린 집합의 여집합은 닫힌 집합이므로 다음이 성립한다.

    CY is closed in Y  ⟹  f−1(CY) is closed in X C_{Y}\mathrm{\ is\ closed\ in\ } Y \implies f^{-1}(C_{Y})\mathrm{\ is\ closed\ in\ }X

    ■