거리공간에서 연속 함수의 합성은 연속성을 보존한다
정리
세 거리공간 $(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$, $(Z,d_{Z})$가 있다고 하자. $E\subset X$이고 두 함수 $f:E\to Y$, $g:f(E) \to Z$가 주어졌다고 하자. 그리고 $E$에서 정의되는 $h : E \to Z$가 아래와 같다고 하자.
$$ h(x) = g(f(x))\quad \forall x \in E $$
이때 $f$가 $p\in E$에서 연속이고 $g$가 $f(p)\in f(E)$에서 연속이면, $h$도 $p$에서 연속이다. 여기서 $h$를 $f$와 $g$의 합성이라고 부르며 $h=g\circ f$와 같이 나타낸다.
증명
임의의 양수 $\varepsilon>0$이 주어졌다고 하자. $g$가 $f(p)$에서 연속이라고 가정했으므로, $\varepsilon$에 대해서
$$ y\in f(E) \quad \text{and} \quad d_{Y}(y,f(p)) < \delta \implies d_{Z}(g(y),g(f(p))) <\varepsilon $$
가 성립하도록 하는 양수 $\delta >0$가 존재한다. 그러면, $f$가 $p$에서 연속이라고 가정했으므로, 이러한 $\delta$에 대해서
$$ x \in E \quad \text{and} \quad d_{X}(x,p) <\eta \implies d_{Y}(f(x),f(p))<\delta $$
가 성립하도록 하는 양수 $\eta>0$가 존재한다. 따라서 임의의 양수 $\varepsilon$에 대해서
$$ x\in E \quad \text{and} \quad d_{X}(x,p) <\eta \implies d_{z}(h(x),h(p))=d_{z}(g(f(x)),g(f(p)))< \varepsilon $$
가 성립하도록 하는 $\eta>0$가 존재하므로 연속의 정의에 의해 $h$는 $p$에서 연속이다.
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