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유클리드 공간에서 공집합이 아닌 완벽 집합은 비가산이다 📂거리공간

유클리드 공간에서 공집합이 아닌 완벽 집합은 비가산이다

정의

(X,d)(X,d)가 거리공간이라고 하자. p∈Xp \in X이고 E⊂XE \subset X라고 하자.

  • d(q,p)<rd(q,p)<r을 만족하는 모든 qq들을 포함하는 집합을 점 pp의 근방neighborhood이라고 정의하고 Nr(p)N_{r}(p)라고 표기한다. 이때 rr을 Nr(p)N_{r}(p)의 반경이라고 부른다. 거리를 생략해도 될 경우 NpN_{p}와 같이 표기하기도 한다.

  • pp의 모든 근방이 q≠pq\ne p이고 q∈Eq\in E인 qq를 포함하고 있으면 pp를 EE의 집적점limit point이라고 부른다.

  • EE의 모든 집적점이 EE에 포함될 경우 EE가 닫혀있다closed고 한다.

  • EE가 닫혀있으면서 EE의 모든 점이 EE의 집적점이면 EE가 완벽하다perfect하다고 한다.

정리

P⊂RkP \subset \mathbb{R}^{k}가 공집합이 아닌 완벽 집합이라고 하자. 그러면 PP는 비가산이다.

증명

귀류법으로 증명한다.

우선 PP는 집적점을 가지므로 무한 집합이다. 이제 PP가 가산이라고 가정해보자. 그러면 PP의 원소들을

x1,x2,⋯ ,xn,⋯ \mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},\cdots,\mathbf{x}_{n},\cdots

로 표현할 수 있다. 이제 x1\mathbf{x}_{1}의 어떤 근방 N1N_{1}을 생각해보자. x1\mathbf{x}_{1}이 PP의 집적점이므로 N1N_{1}은 x1\mathbf{x}_{1}가 아닌 PP의 점을 적어도 하나는 포함하여야한다. 이제 그 점을 x2\mathbf{x}_{2}라고 하자. 그러면 반경을 줄여 x1\mathbf{x}_{1}가 포함되지 않는 x2\mathbf{x}_{2}의 근방 N2N_{2}를 찾을 수 있다. 충분히 작은 근방을 택하면 x1∉N2‾\mathbf{x}_{1}\notin \overline{N_{2}}까지도 만족하도록 할 수 있다. 그러면N2‾⊂N1\overline{N_{2}}\subset N_{1}이고 N2‾∩P≠∅\overline{N_{2}}\cap P \ne \varnothing이다. x2\mathbf{x}_{2} 또한 PP의 집적점이므로 N2N_{2}는 x2\mathbf{x}_{2}가 아닌 PP의 점을 포함하여야한다. 그 점을 x3\mathbf{x}_{3}라고 하자.

같은 방식으로 x2\mathbf{x}_{2}가 포함되지 않는 x3\mathbf{x}_{3}의 근방 N3N_{3}을 찾을 수 있고 N3‾⊂N2\overline{N_{3}}\subset N_{2}이며 N3‾∩P≠∅\overline{N_{3}}\cap P \ne \varnothing이다. 계속 반복하면 점 x4\mathbf{x}_{4}, x5\mathbf{x}_{5}, ⋯\cdots 와 각 점들의 근방인 N4,N5,⋯N_{4},N_{5},\cdots를 선택할 수 있다. 그러면 근방들의 집합 {Nn}\left\{ N_{n} \right\}은 아래의 조건을 만족하게 된다.

  • (i) Nn+1‾⊂Nn\overline{N_{n+1}} \subset N_{n}

  • (ii) xn∉Nn+1‾\mathbf{x}_{n} \notin \overline{N_{n+1}}

  • (iii) Nn‾∩P≠∅\overline{N_{n}} \cap P \ne \varnothing

또한 Nn‾\overline{N_{n}}은 닫혀 있고 유계이므로 컴팩트이다. PP도 닫혀 있으므로 Kn=Nn‾∩PK_{n}=\overline{N_{n}}\cap P라고 두면 KnK_{n}은 컴팩트이다.

거리공간으로 일반화된 칸토어의 축소 구간 정리

{Kn}\left\{ K_{n} \right\}를 공집합이 아닌 컴팩트 집합의 수열이라고 하자. 만약

Kn⊃Kn+1 (n=1,2,⋯ ) K_{n}\supset K_{n+1}\ (n=1,2,\cdots)

를 만족하면 ⋂i=1∞Kn≠∅\bigcap _{i=1}^{\infty} K_{n} \ne \varnothing이다

그러면 {Kn}\left\{ K_{n} \right\}은 공집합이 아닌 컴팩트 집합이면서 Kn⊃Kn+1K_{n}\supset K_{n+1}을 만족하므로 칸토어의 축소 구간 정리에 의해 ⋂n=1∞Kn≠∅\bigcap _{n=1}^{\infty} K_{n}\ne \varnothing이다. 한면 (ii)(\mathrm{ii})에 의해서 ⋂n=1∞Kn=∅\bigcap _{n=1}^{\infty}K_{n}=\varnothing이다. 이는 분명히 모순이므로 가정이 잘못됐음을 알 수 있다. 따라서 PP는 비가산이다.

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따름정리

모든 폐구간 [a,b][a,b]는 비가산이다.