유클리드 공간에서 공집합이 아닌 완벽 집합은 비가산이다
정의
$(X,d)$가 거리공간이라고 하자. $p \in X$이고 $E \subset X$라고 하자.
$d(q,p)<r$을 만족하는 모든 $q$들을 포함하는 집합을 점 $p$의 근방neighborhood이라고 정의하고 $N_{r}(p)$라고 표기한다. 이때 $r$을 $N_{r}(p)$의 반경이라고 부른다. 거리를 생략해도 될 경우 $N_{p}$와 같이 표기하기도 한다.
$p$의 모든 근방이 $q\ne p$이고 $q\in E$인 $q$를 포함하고 있으면 $p$를 $E$의 집적점limit point이라고 부른다.
$E$의 모든 집적점이 $E$에 포함될 경우 $E$가 닫혀있다closed고 한다.
$E$가 닫혀있으면서 $E$의 모든 점이 $E$의 집적점이면 $E$가 완벽하다perfect하다고 한다.
정리
$P \subset \mathbb{R}^{k}$가 공집합이 아닌 완벽 집합이라고 하자. 그러면 $P$는 비가산이다.
증명
귀류법으로 증명한다.
우선 $P$는 집적점을 가지므로 무한 집합이다. 이제 $P$가 가산이라고 가정해보자. 그러면 $P$의 원소들을
$$ \mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},\cdots,\mathbf{x}_{n},\cdots $$
로 표현할 수 있다. 이제 $\mathbf{x}_{1}$의 어떤 근방 $N_{1}$을 생각해보자. $\mathbf{x}_{1}$이 $P$의 집적점이므로 $N_{1}$은 $\mathbf{x}_{1}$가 아닌 $P$의 점을 적어도 하나는 포함하여야한다. 이제 그 점을 $\mathbf{x}_{2}$라고 하자. 그러면 반경을 줄여 $\mathbf{x}_{1}$가 포함되지 않는 $\mathbf{x}_{2}$의 근방 $N_{2}$를 찾을 수 있다. 충분히 작은 근방을 택하면 $\mathbf{x}_{1}\notin \overline{N_{2}}$까지도 만족하도록 할 수 있다. 그러면$\overline{N_{2}}\subset N_{1}$이고 $\overline{N_{2}}\cap P \ne \varnothing$이다. $\mathbf{x}_{2}$ 또한 $P$의 집적점이므로 $N_{2}$는 $\mathbf{x}_{2}$가 아닌 $P$의 점을 포함하여야한다. 그 점을 $\mathbf{x}_{3}$라고 하자.
같은 방식으로 $\mathbf{x}_{2}$가 포함되지 않는 $\mathbf{x}_{3}$의 근방 $N_{3}$을 찾을 수 있고 $\overline{N_{3}}\subset N_{2}$이며 $\overline{N_{3}}\cap P \ne \varnothing$이다. 계속 반복하면 점 $\mathbf{x}_{4}$, $\mathbf{x}_{5}$, $\cdots$ 와 각 점들의 근방인 $N_{4},N_{5},\cdots$를 선택할 수 있다. 그러면 근방들의 집합 $\left\{ N_{n} \right\}$은 아래의 조건을 만족하게 된다.
(i) $\overline{N_{n+1}} \subset N_{n}$
(ii) $\mathbf{x}_{n} \notin \overline{N_{n+1}}$
(iii) $\overline{N_{n}} \cap P \ne \varnothing$
또한 $\overline{N_{n}}$은 닫혀 있고 유계이므로 컴팩트이다. $P$도 닫혀 있으므로 $K_{n}=\overline{N_{n}}\cap P$라고 두면 $K_{n}$은 컴팩트이다.
$\left\{ K_{n} \right\}$를 공집합이 아닌 컴팩트 집합의 수열이라고 하자. 만약
$$ K_{n}\supset K_{n+1}\ (n=1,2,\cdots) $$
를 만족하면 $\bigcap _{i=1}^{\infty} K_{n} \ne \varnothing$이다
그러면 $\left\{ K_{n} \right\}$은 공집합이 아닌 컴팩트 집합이면서 $K_{n}\supset K_{n+1}$을 만족하므로 칸토어의 축소 구간 정리에 의해 $\bigcap _{n=1}^{\infty} K_{n}\ne \varnothing$이다. 한면 $(\mathrm{ii})$에 의해서 $\bigcap _{n=1}^{\infty}K_{n}=\varnothing$이다. 이는 분명히 모순이므로 가정이 잘못됐음을 알 수 있다. 따라서 $P$는 비가산이다.
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따름정리
모든 폐구간 $[a,b]$는 비가산이다.