모든 k-cell은 컴팩트이다: 유클리드 공간에서 컴팩트일 동치 조건
정의
$a_{i},b_{i} \in \mathbb{R} (1\le i \le k)$에 대해서 집합 $I=[a_{1},b_{1}] \times [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{k},b_{k}]$를 $k$-셀k-cell이라 한다. 여기서 $\times$는 집합의 데카르트 곱이다.
정리1
$\mathbb{R}$상의 폐구간들의 수열 $\left\{ I_{n} \right\}$이 $I_{n}\supset I_{n+1}\ (n=1,2,\cdots)$를 만족한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
$$ \bigcap_{i=1}^{\infty}I_{n}\ne \varnothing $$
증명
$I_{n}=[a_{n},b_{n}]$이라고 하자. 그리고 $E=\left\{ a_{n} : n=1,2,\cdots \right\}$라고 하자. 그러면 $E\ne \varnothing$이고 $b_{1}$1에 의해 위로 유계이다. 이제 $x=\sup E$라고 하자. 그리고 임의의 두 양수 $m$, $n$에 대해서
$$ a_{n} \le a_{m+n} \le b_{m+n} \le b_{m} $$
이 성립하므로 모든 $n$에 대해서 $x\le b_{n}$이다. 또한 $x$가 $E$의 상한이므로 모든 $n$에 대해 $a_{n} \le x$임은 자명하다. 따라서 모든 $n$에 대해 $a_{n}\le x \le b_{n}$이므로 $x\in I_{n}\ \forall n$이다. 그러므로
$$ x\in \bigcap _{i=1}^{n}I_{n} $$
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정리2
$\left\{ I_{n} \right\}$이 $I_{n}\supset I_{n+1}(n=1,2,\cdots)$를 만족하는 $k-$셀의 수열이라고 하자. 그러면 $\bigcap _{i=1}^{n}I_{n}\ne\varnothing$이다.
정리2는 정리1을 $\mathbb{R}^{k}$로 확장한 것 이다.
증명
$I_{n}$을 아래와 같이 두자.
$$ I_{n}=\left\{ \mathbf{x}=(x_{1},\cdots,x_{k}) : a_{n,j} \le x_{j} \le b_{nj},\quad(1\le j \le k;\ n=1,2,\cdots) \right\} $$
즉 $I_{n}=I_{n,1}\times \cdots\times I_{n,k}\ (I_{n,j}=[a_{n,j},b_{n,j}])$이다. 그러면 정리1에 의해 각각의 $I_{n,j}$에 대해서 $x_{j}^{\ast}\in I_{n,j} \ (a_{n,j} \le x_{j}^{\ast} \le b_{n,j})$가 존재한다. 따라서
$$ \mathbf{x^{\ast}} =(x_{1}^{\ast},\cdots ,x_{k}^{\ast})\in I_{n} ,\quad (n=1,2,\cdots) $$
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정리3
모든 $k-$셀은 컴팩트이다.
증명
$I$를 다음과 같은 임의의 $k$-셀이라고 하자.
$$ I=I^{1}\times \cdots \times I^{k}=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{k},b_{k}] $$
그리고 다음과 같이 두자.
$$ \mathbf{x}=(x_{1},\cdots,x_{k}) \quad \text{and} \quad a_{j} \le x_{j} \le b_{j}(1\le j \le k) $$
이제 $\delta$를 아래와 같다고 하자.
$$ \delta =\left( \sum \limits_{j=1}^{k}(b_{j})-a_{j})^{2} \right)^{{\textstyle \frac{1}{2}}}=|\mathbf{b}-\mathbf{a}| $$
이때 $\mathbf{a}=(a_{1},\cdots,a_{n})$, $\mathbf{b}=(b_{1},\cdots,b_{n})$이다. 그러면 $\delta$는 $\mathbf{b}$와 $\mathbf{a}$ 사이의 거리와 같다. 따라서
$$ |\mathbf{x}-\mathbf{y}| \le \delta \quad \forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in I $$
가 성립한다. 이제 증명이 본격적으로 시작되는데 귀류법을 사용할 것이다. 즉 $k-$셀이 컴팩트가 아니라고 가정하자. 그러면 컴팩트의 정의에 의해서 $I$의 어떤 오픈 커버 $\left\{ O_{\alpha} \right\}$가 유한 부분 커버를 가지지 않는다고 가정하는 것과 같다. $c_{j}=(a_{j}+b_{j})/2$라고 하자. 그러면 $c_{j}$로 각 $I^{j}$를 $[a_{j},c_{j}]$, $[c_{j},b_{j}]$로 나눠 $2^{k}$개의 $1-$셀을 만들 수 있다. 이들의 합집합은 당연히 $I$가 되고 가정에 의해 이들 중 적어도 하나는 $\left\{ O_{\alpha} \right\}$의 어떤 유한 부분 커버로 커버되지 않아야 한다. 그 셀을 $I_{1}$이라고 하자. 그러면 $I$에서 $I_{1}$을 골라냈던 것과 같은 방식으로 계속 구간을 선택하면 아래의 세 규칙을 만족하는 수열 $\left\{ I_{n} \right\}$을 얻을 수 있다.
$(\mathrm{i})$ $I\supset I_{1} \supset I_{2}\supset \cdots$
$(\mathrm{ii})$ 각각의 $I_{n}$는 $\left\{ O_{\alpha} \right\}$의 어떤 유한 부분 커버로도 커버되지 않는다.
$(\mathrm{iii})$ $|\mathbf{x}-\mathbf{y}|\le 2^{-n}\delta,\quad \forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in I_{n}$
그러면 $(\mathrm{i})$과 정리2에 의해 모든 $n$에 대해서 $\mathbf{x}^{\ast}\in I_{n}$인 $\mathbf{x}^{\ast}$가 존재한다. 그러면 $\left\{ O_{\alpha} \right\}$가 $I$의 오픈 커버이므로 어떤 $\alpha$에 대해서 $\mathbf{x}^{\ast}\in O_{\alpha}$가 성립한다. $O_{\alpha}$가 열린 집합이므로 $|\mathbf{x}^{\ast}-\mathbf{y}|<r \implies \mathbf{y}\in O_{\alpha}$을 만족하는 $r>0$이 존재한다. 한편 $n$을 충분히 크게하여 $2^{-n}\delta<r$을 만족하도록 할 수 있다. 그러면 $(\mathrm{iii})$에 의해서 $I_{n}\subset O_{\alpha}$이다. 그런데 이는 $(\mathrm{ii})$와 모순이므로 가정이 틀렸다는 것을 알 수 있다. 따라서 모든 $k-$셀은 컴팩트다.
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위의 사실로부터 아래의 유용한 정리들을 증명할 수 있다.
유클리드 공간에서 컴팩트일 동치 조건
실수(혹은 복소수) 공간의 부분 집합 $E\subset \mathbb{R}^{k}(\mathrm{or}\ \mathbb{C}^{k})$에 대해서 아래의 세 명제는 동치이다.
(a) $E$는 닫혀 있고 유계이다.
(b) $E$는 컴팩트다.
(c) $E$의 모든 무한 부분 집합은 집적점 $p \in E$를 가진다.
여기서 (a), (b) 가 동치라는 것은 하이네-보렐 정리라고 불린다. (c) 를 만족하는 $E$에 대해서 ’$E$는 집적점 컴팩트하다’고 하거나’ $E$는 볼차노-바이어슈트라스 성질을 가진다’고 한다. (b) 와 (c) 가 동치인 것은 거리공간에서는 성립하지만 위상공간에서는 일반적으로 성립하지 않는다.
증명
(a) $\implies$ (b)
(a) 를 가정하면 $E \subset I$를 만족하는 $k-$셀 $I$가 존재한다. 그러면 $I$가 컴팩트이고, 컴팩트 집합의 닫힌 부분 집합은 컴팩트이므로 $E$는 컴팩트다.
(b) $\implies$ (c)
귀류법으로 증명한다.
$S$가 컴팩트 집합 $E$의 무한 부분 집합이라고 하자. 그리고 $S$의 집적점이 존재하지 않는다고 가정하자. 그러면 모든 $p\in E$는 많아봐야 $S$의 점을 단 하나만 포함하는 $p$의 근방 $N_{p}$를 가진다. $p \in S$일 때 그 단 하나의 점은 $p$이다. 그리고 이는 오픈 커버 $\left\{ N_{p} \right\}$가 $S$를 커버하는 유한 부분 커버를 가지지 못함을 뜻한다. $S \subset E$이므로, 마찬가지로 $E$를 커버하는 유한 부분 커버도 존재하지 않는다. 이는 $E$가 컴팩트하다는 가정에 모순이므로 $S$는 집적점 $p \in E$를 가진다.
(c) $\implies$ (a)
귀류법으로 증명한다.
part 1. $E$는 유계이다
$E$는 유계가 아니라고 가정해보자. 그러면 $E$는 아래의 부등식을 만족하는 점 $\mathbf{x}_{n}$을 포함한다.
$$ |\mathbf{x}_{n}| >n\quad (n=1,2,\cdots) $$
이제 $S=\left\{ \mathbf{x}_{n} :n=1,2,\cdots\right\}$라고 하자. 그러면 $S$는 무한 집합이고 $\mathbb{R}^{k}$에서 집적점을 가지지 않음이 자명하다. 이는 $(c)$에 대해서 모순이다. 따라서 $E$는 유계이다.
part 2. $E$는 닫혀있다.
$E$는 닫혀있지 않다고 가정해보자. 그러면 정의에 의해 $E$에 포함되지 않는 $E$의 집적점 $\mathbf{x}_{0}$가 존재한다. 이제 $n=1,2,\cdots$에 대해서 $\mathbf{x}_{n} \in E$를 아래의 조건을 만족하는 점들이라고 하자.
$$ \left|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x}_{0} \right| < {\textstyle \frac{1}{n}} $$
그리고 이런 $\mathbf{x}_{n}$들의 집합을 $S$라고 하자. 그러면 $S$는 무한 집합이고, $\mathbf{x}_{0}$를 집적점으로 가진다. 이제 $\mathbf{x}_{0}$가 $S$의 유일한 집적점이라면 $\mathbf{x}_{0}\notin E$이므로 $(c)$에 모순이고 $E$는 닫혀있음을 알 수 있다. 그럼 $\mathbf{y} \ne\mathbf{x}_{0}$인 $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{k}$를 생각해보자. 그러면
$$ \begin{align*} \left| \mathbf{x}_{n} - \mathbf{y} \right| & \ge \left|\mathbf{x}_{0} - \mathbf{y} \right| - \left|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x}_{0} \right| \\ & \ge \left| \mathbf{x}_{0} - \mathbf{y} \right| -\frac{1}{n} \end{align*} $$
이때 충분히 큰 $n$에 대해서 아래의 식이 성립한다.
$$ \begin{equation} \left| \mathbf{x}_{n} - \mathbf{y} \right| \ge \left| \mathbf{x}_{0}- \mathbf{y} \right|-\frac{1}{n} \ge \frac{1}{2}\left|\mathbf{x}_{0}-\mathbf{y} \right| \label{eq1} \end{equation} $$
또한 $\mathbf{x}_{n}$의 조건에 의해 $n$이 커질수록 $\mathbf{x}_{n}$은 $\mathbf{x}_{0}$와 가까워진다. 이 사실과 $\eqref{eq1}$에 의해 $n$을 계속 키우다보면 $\mathbf{y}$가 아닌 어떠한 점도 포함하지 않는 $\mathbf{y}$의 근방을 찾을 수 있다. 그러면 $\mathbf{y}$는 $S$의 집적점이 아니므로 $\mathbf{x}_{0}$가 $S$의 유일한 집적점이고 이는 $(c)$에 모순되므로 $E$는 닫혀있다.
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볼차노-바이어슈트라스 정리
$\mathbb{R}^{k}$의 모든 유계인 무한 부분 집합은 집적점 $p \in \mathbb{R}^{k}$를 갖는다.
증명
$E$를 $\mathbb{R}^{k}$의 유계인 무한 부분 집합이라고 하자. 그러면 $E$가 유계이므로 $E \subset I$를 만족하는 $k-$셀인 $I$가 존재한다. $k-$셀은 컴팩트이므로 $I$는 컴팩트이다. 그러면 $I$가 컴팩트일 동치 조건 $(b)\implies (c)$에 의해서 $E$는 집적점 $p \in I \subset \mathbb{R}^{k}$를 가진다.
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같이보기
리즈 정리의 특수화
리즈 정리는 놈 공간에서 클로즈드 유닛 볼 $\overline{B (0;1)}$ 의 컴팩트성을 유한차원의 동치조건으로 지적한다. 유클리드 공간에서의 $k$-셀 $[0,1]^{k}$ 은 컴팩트고, 클로즈드 유닛 볼과의 호메오멀피즘이 존재하므로 리즈 정리는 $k$-셀의 컴팩트성에 대한 일반화로 볼 수 있다.
아무 $b_{n}$이라도 상관 없다. ↩︎