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모든 k-cell은 컴팩트이다: 유클리드 공간에서 컴팩트일 동치 조건 📂거리공간

모든 k-cell은 컴팩트이다: 유클리드 공간에서 컴팩트일 동치 조건

정의

ai,bi∈R(1≤i≤k)a_{i},b_{i} \in \mathbb{R} (1\le i \le k)에 대해서 집합 I=[a1,b1]×[a2,b2]×⋯×[ak,bk]I=[a_{1},b_{1}] \times [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{k},b_{k}]를 kk-셀k-cell이라 한다. 여기서 ×\times는 집합의 데카르트 곱이다.

정리1

R\mathbb{R}상의 폐구간들의 수열 {In}\left\{ I_{n} \right\}이 In⊃In+1 (n=1,2,⋯ )I_{n}\supset I_{n+1}\ (n=1,2,\cdots)를 만족한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

⋂i=1∞In≠∅ \bigcap_{i=1}^{\infty}I_{n}\ne \varnothing

증명

In=[an,bn]I_{n}=[a_{n},b_{n}]이라고 하자. 그리고 E={an:n=1,2,⋯ }E=\left\{ a_{n} : n=1,2,\cdots \right\}라고 하자. 그러면 E≠∅E\ne \varnothing이고 b1b_{1}1에 의해 위로 유계이다. 이제 x=sup⁡Ex=\sup E라고 하자. 그리고 임의의 두 양수 mm, nn에 대해서

an≤am+n≤bm+n≤bm a_{n} \le a_{m+n} \le b_{m+n} \le b_{m}

이 성립하므로 모든 nn에 대해서 x≤bnx\le b_{n}이다. 또한 xx가 EE의 상한이므로 모든 nn에 대해 an≤xa_{n} \le x임은 자명하다. 따라서 모든 nn에 대해 an≤x≤bna_{n}\le x \le b_{n}이므로 x∈In ∀nx\in I_{n}\ \forall n이다. 그러므로

x∈⋂i=1nIn x\in \bigcap _{i=1}^{n}I_{n}

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정리2

{In}\left\{ I_{n} \right\}이 In⊃In+1(n=1,2,⋯ )I_{n}\supset I_{n+1}(n=1,2,\cdots)를 만족하는 k−k-셀의 수열이라고 하자. 그러면 ⋂i=1nIn≠∅\bigcap _{i=1}^{n}I_{n}\ne\varnothing이다.

정리2는 정리1을 Rk\mathbb{R}^{k}로 확장한 것 이다.

증명

InI_{n}을 아래와 같이 두자.

In={x=(x1,⋯ ,xk):an,j≤xj≤bnj,(1≤j≤k; n=1,2,⋯ )} I_{n}=\left\{ \mathbf{x}=(x_{1},\cdots,x_{k}) : a_{n,j} \le x_{j} \le b_{nj},\quad(1\le j \le k;\ n=1,2,\cdots) \right\}

즉 In=In,1×⋯×In,k (In,j=[an,j,bn,j])I_{n}=I_{n,1}\times \cdots\times I_{n,k}\ (I_{n,j}=[a_{n,j},b_{n,j}])이다. 그러면 정리1에 의해 각각의 In,jI_{n,j}에 대해서 xj∗∈In,j (an,j≤xj∗≤bn,j)x_{j}^{\ast}\in I_{n,j} \ (a_{n,j} \le x_{j}^{\ast} \le b_{n,j})가 존재한다. 따라서

x∗=(x1∗,⋯ ,xk∗)∈In,(n=1,2,⋯ ) \mathbf{x^{\ast}} =(x_{1}^{\ast},\cdots ,x_{k}^{\ast})\in I_{n} ,\quad (n=1,2,\cdots)

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정리3

모든 k−k-셀은 컴팩트이다.

증명

II를 다음과 같은 임의의 kk-셀이라고 하자.

I=I1×⋯×Ik=[a1,b1]×⋯×[ak,bk] I=I^{1}\times \cdots \times I^{k}=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{k},b_{k}]

그리고 다음과 같이 두자.

x=(x1,⋯ ,xk)andaj≤xj≤bj(1≤j≤k) \mathbf{x}=(x_{1},\cdots,x_{k}) \quad \text{and} \quad a_{j} \le x_{j} \le b_{j}(1\le j \le k)

이제 δ\delta를 아래와 같다고 하자.

δ=(∑j=1k(bj)−aj)2)12=∣b−a∣ \delta =\left( \sum \limits_{j=1}^{k}(b_{j})-a_{j})^{2} \right)^{{\textstyle \frac{1}{2}}}=|\mathbf{b}-\mathbf{a}|

이때 a=(a1,⋯ ,an)\mathbf{a}=(a_{1},\cdots,a_{n}), b=(b1,⋯ ,bn)\mathbf{b}=(b_{1},\cdots,b_{n})이다. 그러면 δ\delta는 b\mathbf{b}와 a\mathbf{a} 사이의 거리와 같다. 따라서

∣x−y∣≤δ∀x,y∈I |\mathbf{x}-\mathbf{y}| \le \delta \quad \forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in I

가 성립한다. 이제 증명이 본격적으로 시작되는데 귀류법을 사용할 것이다. 즉 k−k-셀이 컴팩트가 아니라고 가정하자. 그러면 컴팩트의 정의에 의해서 II의 어떤 오픈 커버 {Oα}\left\{ O_{\alpha} \right\}가 유한 부분 커버를 가지지 않는다고 가정하는 것과 같다. cj=(aj+bj)/2c_{j}=(a_{j}+b_{j})/2라고 하자. 그러면 cjc_{j}로 각 IjI^{j}를 [aj,cj][a_{j},c_{j}], [cj,bj][c_{j},b_{j}]로 나눠 2k2^{k}개의 1−1-셀을 만들 수 있다. 이들의 합집합은 당연히 II가 되고 가정에 의해 이들 중 적어도 하나는 {Oα}\left\{ O_{\alpha} \right\}의 어떤 유한 부분 커버로 커버되지 않아야 한다. 그 셀을 I1I_{1}이라고 하자. 그러면 II에서 I1I_{1}을 골라냈던 것과 같은 방식으로 계속 구간을 선택하면 아래의 세 규칙을 만족하는 수열 {In}\left\{ I_{n} \right\}을 얻을 수 있다.

  • (i)(\mathrm{i}) I⊃I1⊃I2⊃⋯I\supset I_{1} \supset I_{2}\supset \cdots

  • (ii)(\mathrm{ii}) 각각의 InI_{n}는 {Oα}\left\{ O_{\alpha} \right\}의 어떤 유한 부분 커버로도 커버되지 않는다.

  • (iii)(\mathrm{iii}) ∣x−y∣≤2−nδ,∀x,y∈In|\mathbf{x}-\mathbf{y}|\le 2^{-n}\delta,\quad \forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in I_{n}

그러면 (i)(\mathrm{i})과 정리2에 의해 모든 nn에 대해서 x∗∈In\mathbf{x}^{\ast}\in I_{n}인 x∗\mathbf{x}^{\ast}가 존재한다. 그러면 {Oα}\left\{ O_{\alpha} \right\}가 II의 오픈 커버이므로 어떤 α\alpha에 대해서 x∗∈Oα\mathbf{x}^{\ast}\in O_{\alpha}가 성립한다. OαO_{\alpha}가 열린 집합이므로 ∣x∗−y∣<r  ⟹  y∈Oα|\mathbf{x}^{\ast}-\mathbf{y}|<r \implies \mathbf{y}\in O_{\alpha}을 만족하는 r>0r>0이 존재한다. 한편 nn을 충분히 크게하여 2−nδ<r2^{-n}\delta<r을 만족하도록 할 수 있다. 그러면 (iii)(\mathrm{iii})에 의해서 In⊂OαI_{n}\subset O_{\alpha}이다. 그런데 이는 (ii)(\mathrm{ii})와 모순이므로 가정이 틀렸다는 것을 알 수 있다. 따라서 모든 k−k-셀은 컴팩트다.

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위의 사실로부터 아래의 유용한 정리들을 증명할 수 있다.

유클리드 공간에서 컴팩트일 동치 조건

실수(혹은 복소수) 공간의 부분 집합 E⊂Rk(or Ck)E\subset \mathbb{R}^{k}(\mathrm{or}\ \mathbb{C}^{k})에 대해서 아래의 세 명제는 동치이다.

(a) EE는 닫혀 있고 유계이다.

(b) EE는 컴팩트다.

(c) EE의 모든 무한 부분 집합은 집적점 p∈Ep \in E를 가진다.

여기서 (a), (b) 가 동치라는 것은 하이네-보렐 정리라고 불린다. (c) 를 만족하는 EE에 대해서 ’EE는 집적점 컴팩트하다’고 하거나’ EE는 볼차노-바이어슈트라스 성질을 가진다’고 한다. (b) 와 (c) 가 동치인 것은 거리공간에서는 성립하지만 위상공간에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

증명

  • (a)   ⟹  \implies (b)

    (a) 를 가정하면 E⊂IE \subset I를 만족하는 k−k-셀 II가 존재한다. 그러면 II가 컴팩트이고, 컴팩트 집합의 닫힌 부분 집합은 컴팩트이므로 EE는 컴팩트다.

  • (b)   ⟹  \implies (c)

    귀류법으로 증명한다.

    SS가 컴팩트 집합 EE의 무한 부분 집합이라고 하자. 그리고 SS의 집적점이 존재하지 않는다고 가정하자. 그러면 모든 p∈Ep\in E는 많아봐야 SS의 점을 단 하나만 포함하는 pp의 근방 NpN_{p}를 가진다. p∈Sp \in S일 때 그 단 하나의 점은 pp이다. 그리고 이는 오픈 커버 {Np}\left\{ N_{p} \right\}가 SS를 커버하는 유한 부분 커버를 가지지 못함을 뜻한다. S⊂ES \subset E이므로, 마찬가지로 EE를 커버하는 유한 부분 커버도 존재하지 않는다. 이는 EE가 컴팩트하다는 가정에 모순이므로 SS는 집적점 p∈Ep \in E를 가진다.

  • (c)   ⟹  \implies (a)

    귀류법으로 증명한다.

    • part 1. EE는 유계이다

      EE는 유계가 아니라고 가정해보자. 그러면 EE는 아래의 부등식을 만족하는 점 xn\mathbf{x}_{n}을 포함한다.

      ∣xn∣>n(n=1,2,⋯ ) |\mathbf{x}_{n}| >n\quad (n=1,2,\cdots)

      이제 S={xn:n=1,2,⋯ }S=\left\{ \mathbf{x}_{n} :n=1,2,\cdots\right\}라고 하자. 그러면 SS는 무한 집합이고 Rk\mathbb{R}^{k}에서 집적점을 가지지 않음이 자명하다. 이는 (c)(c)에 대해서 모순이다. 따라서 EE는 유계이다.

    • part 2. EE는 닫혀있다.

      EE는 닫혀있지 않다고 가정해보자. 그러면 정의에 의해 EE에 포함되지 않는 EE의 집적점 x0\mathbf{x}_{0}가 존재한다. 이제 n=1,2,⋯n=1,2,\cdots에 대해서 xn∈E\mathbf{x}_{n} \in E를 아래의 조건을 만족하는 점들이라고 하자.

      ∣xn−x0∣<1n \left|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x}_{0} \right| < {\textstyle \frac{1}{n}}

      그리고 이런 xn\mathbf{x}_{n}들의 집합을 SS라고 하자. 그러면 SS는 무한 집합이고, x0\mathbf{x}_{0}를 집적점으로 가진다. 이제 x0\mathbf{x}_{0}가 SS의 유일한 집적점이라면 x0∉E\mathbf{x}_{0}\notin E이므로 (c)(c)에 모순이고 EE는 닫혀있음을 알 수 있다. 그럼 y≠x0\mathbf{y} \ne\mathbf{x}_{0}인 y∈Rk\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{k}를 생각해보자. 그러면

      ∣xn−y∣≥∣x0−y∣−∣xn−x0∣≥∣x0−y∣−1n \begin{align*} \left| \mathbf{x}_{n} - \mathbf{y} \right| & \ge \left|\mathbf{x}_{0} - \mathbf{y} \right| - \left|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x}_{0} \right| \\ & \ge \left| \mathbf{x}_{0} - \mathbf{y} \right| -\frac{1}{n} \end{align*}

      이때 충분히 큰 nn에 대해서 아래의 식이 성립한다.

      ∣xn−y∣≥∣x0−y∣−1n≥12∣x0−y∣ \begin{equation} \left| \mathbf{x}_{n} - \mathbf{y} \right| \ge \left| \mathbf{x}_{0}- \mathbf{y} \right|-\frac{1}{n} \ge \frac{1}{2}\left|\mathbf{x}_{0}-\mathbf{y} \right| \label{eq1} \end{equation}

      또한 xn\mathbf{x}_{n}의 조건에 의해 nn이 커질수록 xn\mathbf{x}_{n}은 x0\mathbf{x}_{0}와 가까워진다. 이 사실과 (eq1)\eqref{eq1}에 의해 nn을 계속 키우다보면 y\mathbf{y}가 아닌 어떠한 점도 포함하지 않는 y\mathbf{y}의 근방을 찾을 수 있다. 그러면 y\mathbf{y}는 SS의 집적점이 아니므로 x0\mathbf{x}_{0}가 SS의 유일한 집적점이고 이는 (c)(c)에 모순되므로 EE는 닫혀있다.

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볼차노-바이어슈트라스 정리

Rk\mathbb{R}^{k}의 모든 유계인 무한 부분 집합은 집적점 p∈Rkp \in \mathbb{R}^{k}를 갖는다.

증명

EE를 Rk\mathbb{R}^{k}의 유계인 무한 부분 집합이라고 하자. 그러면 EE가 유계이므로 E⊂IE \subset I를 만족하는 k−k-셀인 II가 존재한다. k−k-셀은 컴팩트이므로 II는 컴팩트이다. 그러면 II가 컴팩트일 동치 조건 (b)  ⟹  (c)(b)\implies (c)에 의해서 EE는 집적점 p∈I⊂Rkp \in I \subset \mathbb{R}^{k}를 가진다.

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같이보기

리즈 정리의 특수화

리즈 정리는 놈 공간에서 클로즈드 유닛 볼 B(0;1)‾\overline{B (0;1)} 의 컴팩트성을 유한차원의 동치조건으로 지적한다. 유클리드 공간에서의 kk-셀 [0,1]k[0,1]^{k} 은 컴팩트고, 클로즈드 유닛 볼과의 호메오멀피즘이 존재하므로 리즈 정리는 kk-셀의 컴팩트성에 대한 일반화로 볼 수 있다.

  1. 아무 bnb_{n}이라도 상관 없다. ↩︎