📂동역학

비선형 시스템의 선형화

빌드업

공간 $\left( X, \left\| \cdot \right\| \right)$ 와 함수 $f : X \to X$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ \dot{x} = f(x) $$ 위와 같은 미분방정식로 표현되는 시스템의 고정점 $\overline{x}$ 이 주어져 있다고 할 때, 그 근방의 안정성을 파악하기 위해서는 선형화라는 방법이 필수적으로 동원된다. 시스템을 전체적으로 보았을 땐 고정점 근처에서는 선형으로 보고 분석하겠다는 것이다. 이는 다차원 비선형 맵을 다루는 아이디어와 같다.

고정점 $\overline{x}$ 과 아주 가까운 점 $x$ 가 다음과 같이 나타난다고 해보자. $$ x:= \overline{x} + \xi $$ 그러면 그 테일러 전개는 $$ \dot{x} = \overline{x} ' + \xi ' = f \left( \overline{x} \right) + D f \left( \overline{x} \right) \xi + O \left( \left\| \xi \right\|^{2} \right) $$ 물론 $\overline{x} ' = f \left( \overline{x} \right)$ 이므로 두번째, 세번째 변에서 소거하고 $\xi '$ 에 대해 정리하면 $$ \xi ' = D f \left( \overline{x} \right) \xi + O \left( \left\| \xi \right\|^{2} \right) $$ $D$ 는 자코비안이다. 여기서 $\left\| \xi \right\|^{2}$ 가 충분히 작다면, 즉 $x$ 가 $\overline{x}$ 랑 아주 가깝다면 마지막 항은 무시할 수 있다.

정의

이러한 과정을 선형화^{linearization}라 하고, 이와 같이 얻어내는 다음의 새로운 미분 방정식을 연관 선형 시스템^{associated linear system}이라고 한다. $$ \xi ' = D f \left( \overline{x} \right) \xi $$

설명

선형화의 한계

주의해야할 점은 선형화된 시스템에서 고정점의 랴푸노프 안정성이 원래 시스템에서의 안정성까지 보장하지는 못한다는 것이다. 예¹로써 다음과 같은 비선형시스템의 선형화를 살펴보자: $$ \begin{align*} \dot{x} =& f_{1} (x , y) = -y + x \left( x^{2} + y^{2} \right) \\ \dot{y} =& f_{2} (x , y ) = x + y \left( x^{2} + y^{2} \right) \end{align*} $$ 자명하게도 원점 $\overline{(x,y)} = (0,0)$ 은 위 시스템의 고정점이 된다.

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Part 1.

선형 시스템에 대해 연관 선형 시스템 $\xi ' = D f \left( \overline{x} \right) \xi$ 은 다음과 같이 유도한다. $$ \begin{align*} \begin{bmatrix} \xi_{1} \\ \xi_{2} \end{bmatrix} ' =& \begin{bmatrix} {{ \partial f_{1} } \over { \partial x }} & {{ \partial f_{1} } \over { \partial y }} \\ {{ \partial f_{2} } \over { \partial x }} & {{ \partial f_{2} } \over { \partial y }} \end{bmatrix}_{\overline{(x,y)} = (0,0)} \begin{bmatrix} \xi_{1} \\ \xi_{2} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} 3 x^{2} + y^{2} & -1 + 2 x y \\ 1 + 2x y & x^{2} + 3 y^{2} \end{bmatrix}_{ \overline{(x,y)} = (0,0)} \begin{bmatrix} \xi_{1} \\ \xi_{2} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \xi_{1} \\ \xi_{2} \end{bmatrix} \end{align*} $$ $\xi ' = D f \left( \overline{x} \right) \xi$ 을 깔끔하게 정리해보면 다음과 같다. $$ \begin{align*} \xi_{1} ' =& - \xi_{2} \\ \xi_{2} ' =& \xi_{1} \end{align*} $$

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Part 2. 선형 시스템에서의 안정성

이제 선형화된 시스템에서 $\overline{x}$ 의 랴푸노프 안정성을 확인해보자. 우선 이 시스템의 모든 솔루션은 무척 단순함을 알 수 있는데, $ D f \left( \overline{x} \right)$ 를 일차변환으로 보았을 때 행렬의 모양이 회전변환이므로 모든 점들이 원점을 중심으로 일정한 거리 $r>0$ 을 유지하며 반시계방향으로 돌아가는 벡터필드기 때문이다.

랴푸노프 안정성의 정의: $t_{0} \in \mathbb{R}$ 이라 하자. 주어진 미분 방정식의 솔루션 $\overline{x}(t)$ 가 $\varepsilon > 0$ 이 주어질 때마다 $$ \left\| \overline{x} \left( t_{0} \right) - y \left( t_{0} \right) \right\| < \delta \implies \left\| \overline{x}(t) - y(t) \right\| < \varepsilon \qquad , t > t_{0} $$ 를 만족시키는 다른 모든 솔루션 $y(t)$ 에 대해 $\delta ( \varepsilon ) > 0$ 가 존재하면 $\overline{x}(t)$ 를 안정적이라고 한다.

정의에 따르면 고정점 $\overline{(x,y)} = (0,0)$ 는 $\varepsilon > 0$ 이 주어질 때마다 $$ \left\| \xi (t_{0}) \right\| < \delta \implies \left\| \xi (t) \right\| < \varepsilon \qquad , t > t_{0} $$ 를 만족시키는 $\delta (\varepsilon)>0$ 가 존재해야 안정적인데, 이 시스템의 모든 다른 솔루션 $\xi (t)$ 들은 시간이 흐르는 것과 무관하게 원점과 일정한 간격을 유지하며 회전하므로 $\delta (\varepsilon) = \varepsilon$ 가 자명하게 존재한다. 그러므로 $\overline{(x,y)} = (0,0)$ 은 이 선형 시스템에서 안정적이라고 말할 수 있다.

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Part 3. 비선형 시스템에서의 안정성

비선형 시스템에서의 안정성을 확인하는 전형적인 방법은 아니지만, 이 경우엔 극좌표 변환을 통해 비교적 쉽게 안정성을 체크해볼 수 있다. 다음과 같이 $x, y$ 를 극좌표로 나타낸다고 생각해보자.

$$x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta $$ 그러면 $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ 이므로 양변을 시간 $t$ 에 대해 미분하면 $$ \begin{align*} & 2r \dot{r} = 2 x \dot{x} + 2y \dot{y} \\ \implies& r\dot{r} = x \left[ -y + x \left( x^{2} + y^{2} \right) \right] + y \left[ x + y \left( x^{2} + y^{2} \right) \right] \\ \implies& r \dot{r} = r \cos \theta \left[ - r \sin \theta + r \cos \theta \cdot r^{2} \right] + r \sin \theta \left[r \cos \theta + r \sin \theta \cdot r^{2} \right] \\ \implies& r \dot{r} = r^{4} \cos^{2} \theta + r^{4} \sin^{2} \theta \\ \implies& \dot{r} = r^{3} \end{align*} $$ 마찬가지로 극좌표 변환 $x=r \cos \theta$ 을 시간 $t$ 에 대해 미분하면 $$ \begin{align*} & \dot{x} = \dot{r} \cos \theta - r \theta^{\prime}\sin \theta \\ \implies& - r \sin \theta + r^{3} \cos \theta = r^{3} \cos \theta - \left( r \sin \theta \right) \dot{\theta} \\ \implies& 1 = \dot{\theta} \end{align*} $$ 이를 정리하면 $$ \begin{align*} \dot{r} =& r^{3} \\ \dot{\theta} =& 1 \end{align*} $$ 극좌표 표현에 따르면 고정점 $\overline{(x,y)} = (0,0)$ 을 제외한 모든 점에서는 $r>0$ 이고, 따라서 $\dot{r}>0$ 이기도 하다. 이는 다시 말해 이 시스템의 고정점을 제외한 모든 솔루션은 원점을 중심으로 일정한 $\theta$ 만큼 회전하며 $r$ 이 점점 커지는 나선을 그린다는 것이다. 아무리 고정점에서 가까울지라도 결국 시간이 흐르면 원점에서 벗어나게 되므로, 이 비선형 시스템에서 안정적이라고 할 수 없다.

점근적 안정성

위의 예시에서 선형 시스템의 안정성은 비선형 시스템의 안정성을 보장해주지 않는 것을 확인했다. [ NOTE: 이런 경우의 선형 안정성이라 부르기도 한다. ] 그러나 하이퍼볼릭한 고정점의 경우에는 이것이 동치가 되며, 선형화는 여전히 강력한 도구가 되어준다.

연관 선형화 시스템과 점근적 안정성²: $\dot{x} = f(x)$ 의 고정점 $\overline{x}$ 에 대해 $D f (\overline{x})$ 의 모든 고유값들의 실수부가 음수면 $\overline{x}$ 는 점근적 안정성을 가진다.

특히 위의 정리는 널리 알려져 동역학 시스템의 분석 대부분에 사용되고 있다. 그 증명에는 랴푸노프 함수의 존재성³과 선형대수적인 트릭⁴이 필요한데, 이것을 직접 보이는 것은 생각보다 만만하지 않다.