📂거리공간

거리공간에서 컴팩트 집합의 닫힌 부분집합은 컴팩트이다

정리¹

거리공간 $X$에 대해서, 컴팩트 집합 $K$의 ($X$에 상대적으로) 닫힌 부분집합은 컴팩트이다.

증명

거리공간 $X$에 대해서 $F\subset K \subset X$이고, $F$는 $X$에서 닫힌 집합, $K$는 컴팩트 집합이라고 가정하자. 그리고 $\left\{ V_{\alpha}\right\}$를 $F$의 임의의 오픈 커버라고 하자. 여기에 $F^{c}$를 추가하여 $\Omega=\left\{ V_\alpha \right\}\cup \left\{ F^{c} \right\}$라고 하자. 그러면 $\Omega$는 $K$의 오픈 커버가 된다. $K$는 컴팩트라고 가정했으므로, $\Omega$의 어떤 유한 부분 커버 $\Phi$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ F \subset K\subset \Phi $$

여기서 두 경우로 나누어보자.

• case 1. $F^{c} \notin \Phi$

  그러면 $\Phi$는 $\left\{ V_{\alpha} \right\}$의 유한 부분 커버이므로 $F$는 컴팩트이다.

• case 2. $F^{c} \in \Phi$

  $\Psi=\Omega \setminus \left\{ F^{c} \right\}$라고 두면 $F^{c}\cap F=\varnothing$이므로 여전히 $F\subset \Psi$이다. 그러면 $\Psi$는 $\left\{ V_{\alpha} \right\}$의 유한 부분 집합이므로 $F$는 컴팩트이다.

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따름정리

거리공간 $X$에서 $F$가 닫혀있고 $K$가 컴팩트라고 하자. 그러면 $F\cap K$는 컴팩트이다.

증명

$F \cap K$는 닫힌 집합의 교집합이므로 닫힌 집합이다. 그러면 컴팩트 집합 $K$의 닫힌 부분집합이므로 컴팩트이다.

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