거리공간에서 컴팩트
정의
오픈 커버
거리공간 $(X,d)$와 부분 집합 $E\subset X$가 주어졌다고 하자. 아래의 식을 만족하는 $X$의 열린 집합들의 집합 $\left\{ O_{\alpha} \right\}$를 $E$의 오픈 커버open cover 라고 한다.
$$ E\subset \bigcup _{\alpha} O_{\alpha} $$
오픈 커버의 부분 집합을 부분 커버라 부른다. 특히 원소가 유한개인 부분 커버를 유한 부분 커버라 부른다.
컴팩트
거리공간 $X$의 부분집합 $K$가 주어졌다고 하자. 만약 $K$의 모든 오픈 커버가 유한 부분 커버를 가지면 $K$가 컴팩트compact하다고 말한다. 다시 말해 오픈 커버에서 유한한 개수만큼 뽑아와도 여전히 오픈 커버가 되면 $K$를 컴팩트하다고 부른다. 다시말해 수식으로 표현해서 어떤 $\alpha_{1},\cdots ,\alpha_{n}$에 대해서
$$ K\subset O_{\alpha_{1}}\cup \cdots O_{\alpha_{n}} $$
이 성립하면 $K$가 컴팩트이다.
설명
컴팩트가 중요한 이유는 전체 공간을 무엇으로 두느냐에 따라서 해당 집합이 컴팩트라는 성질을 얻거나 잃지 않기 때문이다. 즉 컴팩트는 해당 집합이 가지는 고유한 성질 이라는 의미이다. 멀리 가지 않고 열림이라는 개념만 봐도 전체 공간을 확장할 때 열려 있다는 성질이 보존된다는 보장이 없으므로 상대적으로 열림이라는 표현이 있다. 계속 공부하다 보면 컴팩트라는 조건이 여러 정리에서 중요한 역할을 하게 됨을 알게 된다.컴팩트는 전체 공간과 무관하게 집합에 부여되는 성질이라는 것을 아래의 정리로 확인할 수 있다. 우선은 $K\subset X$가 전체 공간 $X$에 대해서 컴팩트할 때 $X$에서 컴팩트하다는 표현을 쓰겠다.
정리
두 거리공간 $X$, $Y$에 대해서 $K\subset Y \subset X$라고 하자. 그러면 아래의 두 명제는 동치이다.
(a) $K$는 $X$에서 컴팩트하다.
(b) $K$는 $Y$에서 컴팩트하다.
증명
두 거리공간 $X$, $Y$가 주어졌다고 하자. 그리고 $E \subset Y \subset X$라고 하자. 그러면 아래의 두 명제는 동치이다.$(d)$ $E$가 $Y$에 대해 상대적으로 열려있다.$(e)$ $X$의 어떤 열린 집합 $O_{X}$에 대해서 $E=Y \cap O_{X}$가 성립한다.
(a) $\Longrightarrow$ (b)
$K$가 $X$에서 컴팩트하다고 가정하자. $\left\{ O_{\alpha}^{Y} \right\}$를 $K\subset \bigcup_{\alpha} O_{\alpha}^{Y}$를 만족하는 $Y$에서 열린 집합들의 집합이라고 하자. 다시 말하자면 $\left\{ O_{\alpha}^{Y} \right\}$를 $K$의 $Y$에 대한 임의의 오픈 커버라고 하자는 것이다. 그러면 보조정리에 의해
$$ O_{\alpha}^{Y}=Y\cap O_{\alpha}^{X},\quad \forall \alpha $$
를 만족하는 $X$에서 열린 집합 $O_{\alpha}^{X}$가 존재한다. 그러면 $\left\{ O_{\alpha}^{X} \right\}$는 $K$의 $X$에 대한 오픈 커버가 된다. 그러면 가정에 의해 어떤 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$에 대해서 아래의 식이 성립한다.
$$ K \subset O_{\alpha_{1}}^{X}\cup\cdots \cup O_{\alpha_{n}}^{X} $$
그런데 $K\subset Y$이므로 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} K & \subset Y \cap (O_{\alpha_{1}}^{X}\cup\cdots \cup O_{\alpha_{n}}^{X}) \\ &= (Y \cap O _{\alpha_{1}}^{X})\cup\cdots \cup(Y \cap O_{\alpha_{n}}^{X}) \\ &= O_{\alpha_{1}}^{Y}\cup\cdots \cup O_{\alpha_{n}}^{Y} \end{align*} $$
따라서 $K$의 $Y$에 대한 임의의 오픈 커버 $\left\{ O_{\alpha}^{Y} \right\}$의 유한 부분 커버가
$$ K \subset O_{\alpha_{1}}^{Y}\cup\cdots \cup O_{\alpha_{n}}^{Y} $$
를 만족하므로 $K$는 $Y$에서 컴팩트하다.
(a) $\Longleftarrow$ (b)
$K$가 $Y$에서 컴팩트하다고 가정하자. $\left\{ O_{\alpha}^{X} \right\}$를 $K\subset \bigcup_{\alpha} O_{\alpha}^{X}$를 만족하는 $X$에서 열린 집합들의 집합이라고 하자. 다시 말해 $K$의 $X$에 대한 임의의 오픈 커버로 $\left\{ O_{\alpha}^{X} \right\}$잡아오는 것이다. 그리고 $O_{\alpha}^{Y}$를 아래와 같이 두자.
$$ O_{\alpha}^{Y}=Y\cap O_{\alpha}^{X},\quad \forall \alpha $$
그러면 보조정리에 의해 $O_{\alpha}^{Y}$는 $Y$에서 열린 집합이 된다. 따라서 $\left\{ O_{\alpha}^{Y} \right\}$는 $K$의 오픈 커버이다. 그러면 가정에 의해 어떤 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$에 대해서 아래의 식이 성립한다.
$$ K \subset O_{\alpha_{1}}^{Y}\cup \cdots \cup O_{\alpha_{n}}^{Y} $$
그런데 각각의 $\alpha$에 대해서 $O_{\alpha}^{Y} \subset O_{\alpha}^{X}$이므로 다음이 성립한다.
$$ K\subset O_{\alpha_{1}}^{X}\cup \cdots \cup O_{\alpha_{n}}^{X} $$
따라서 $K$의 임의의 오픈 커버가 항상 유한 부분 커버를 가지므로 $K$는 $X$에서 컴팩트하다.
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