📂거리공간

거리공간에서 열린 집합, 닫힌 집합의 성질

$(X,d)$가 거리공간이라고 하자. $p \in X$이고 $E \subset X$라고 하자.

• $d(q,p)<r$을 만족하는 모든 $q$들을 포함하는 집합을 점 $p$의 근방^neighborhood이라고 정의하고 $N_{r}(p)$라고 표기한다. 이때 $r$을 $N_{r}(p)$의 반경이라고 부른다. 거리를 생략해도 될 경우 $N_{p}$와 같이 표기하기도 한다.

• $p$의 모든 근방이 $q\ne p$이고 $q\in E$인 $q$를 포함하고 있으면 $p$를 $E$의 집적점^{limit point}이라고 부른다.

• $E$의 모든 집적점이 $E$에 포함될 경우 $E$가 닫혀있다^closed고 한다.

• $N\subset E$를 만족하는 $p$의 근방 $N$이 존재하면 $p$를 $E$의 내점^{interior point}이라고 부른다.

• $E$의 모든 점이 $E$의 내점일 경우 $E$가 열려있다^open고 한다.

정리

거리공간 $X$에서 열린 집합들의 컬렉션¹을 $\left\{ O_{\alpha} \right\}$, 닫힌 집합들의 컬렉션을 $\left\{ C_{\alpha} \right\}$라고 하자. 그러면

(a) 열린 집합들의 합집합 $\bigcup_{\alpha} O_{\alpha}$도 열린 집합이다.

(b) 닫힌 집합들의 교집합 $\bigcap_{\alpha} C_{\alpha}$도 닫힌 집합이다.

(c) 열린 집합들의 유한 교집합 $\bigcap_{i=1}^{n}O_{i}$도 열린 집합이다.

(d) 닫힌 집합들의 유한 합집합 $\bigcup _{i=1}^{n} C_{i}$도 닫힌 집합이다.

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$(c)$, $(d)$에서 유한이라는 조건이 빠진다면 성립하지 않는다. 이는 반례를 통해 보일 수 있다.

증명

(a)

$O=\bigcup_{\alpha} O_{\alpha}$라고 하자. $p \in O$이면 어떤 $\alpha$에 대해서 $p \in O_{\alpha}$이다. 따라서 열린 집합의 정의에 의해 $p$는 $O_{\alpha}$의 내점이다. 또한 내점의 정의에 의해 $p$는 $O$의 내점이 된다. 임의의 $p\in O$에 대해서 $p$가 $O$의 내점이므로 $O$는 열린 집합이다.

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(b)

드 모르간의 정리 $\left\{ E_{\alpha}\right\}$를 집합 $E_{\alpha}$들의 컬렉션이라고 하자. 그러면 아래의 식이 성립한다. $$\left( \bigcup \limits_{\alpha}E_{\alpha} \right)^{c}=\bigcap \limits_{\alpha} (E_{\alpha})^{c}$$

증명은 하단에 소개한다.

드 모르간의 정리에 의해서 다음이 성립한다.

$$\left( \bigcap_{\alpha} C_{\alpha} \right)^{c}=\bigcup_{\alpha}(C_{\alpha})^{c} \tag{1}$$

$C_{\alpha}$가 닫힌 집합이므로 $(C_{\alpha})^{c}$는 열린 집합이다. 그러면 (a) 에 의해서 $\bigcup_{\alpha}(C_{\alpha})^{c}=\left( \bigcap_{\alpha} C_{\alpha} \right)^{c}$는 열린 집합이다. 그러면 $\bigcap_{\alpha} C_{\alpha}$는 열린 집합의 여집합이므로 닫힌 집합이다.

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(c)

$O=\bigcap_{i=1}^{n}O_{i}$라고 하자. 그러면 임의의 점 $p\in O$는 모든 $i$에 대해서 $p\in O_{i}\ (i=1,\cdots,n)$이 성립한다. 따라서 열린 집합과 내점의 정의에 의해 각각의 $i$에 대해서

$$N_{i} \subset O_{i} \quad (i=1,\cdots,n)$$

를 만족하는 반경이 $r_{i}$인 $p$의 근방이 존재한다. 이때 $r=\min (r_{1},\cdots,r_{n})$라고 하자. 그리고 $N=N_{r}(p)$라고 하자. 그러면 $N$은 제일 작은 반경을 가진 근방이므로 다음이 성립한다.

$$N\subset O_{i} \quad (i=1,\cdots,n)$$

그러므로 $N \subset O$ 가 성립하고 내점의 정의에 의해 $p$는 $O$의 내점이다. 임의의 $p\in O$에 대해서 $p$는 항상 $O$의 내점이므로 $O$는 열린 집합이다.

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(d)

드 모르간의 정리에 의해서 다음이 성립한다.

$$\left( \bigcup_{i=1}^{n}C_{i} \right)^{c} = \bigcap _{i=1}^{n} (C_{i})^{c}$$

$C_{i}$가 닫혀있으므로, 보조정리 2에의해 $(C_{i})^{c}$는 열려있다. 그러면 $(c)$에 의해서 $\bigcap_{i=1}^{n}(C_{i})^{c}=\left( \bigcup _{i=1}^{n}C_{i} \right)^{c}$는 열린 집합이다. 그러면 다시 보조정리 2에 의해서 $\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}$는 닫힌 집합이다.

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드 모르간의 정리 증명

진리표를 이용한 증명

• part 1. $\left( \bigcup \limits_{\alpha}E_{\alpha} \right)^{c} \subset \bigcap \limits_{\alpha} (E_{\alpha})^{c}$

  $x\in \left( \bigcup \limits_{\alpha}E_{\alpha} \right)^{c}$이라고 하자. 그러면 여집합의 정의에 의해 다음이 성립한다.

  $$\begin{align*} && x &\notin \bigcup \limits_{\alpha}E_{\alpha} \\ \implies&& x&\notin E_{\alpha}\quad &\forall \alpha \\ \implies&& x&\in(E_{\alpha})^{c}\quad &\forall \alpha \\ \implies&& x&\in \bigcap\limits_{\alpha}(E_{\alpha})^{c} \end{align*}$$

  따라서

  $$\left( \bigcup \limits_{\alpha}E_{\alpha} \right)^{c} \subset \bigcap \limits_{\alpha} (E_{\alpha})^{c}$$

• part 2. $\left( \bigcup \limits_{\alpha}E_{\alpha} \right)^{c} \supset \bigcap \limits_{\alpha} (E_{\alpha})^{c}$

  $x\in \bigcap \limits_{\alpha} (E_{\alpha})^{c}$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

  $$\begin{align*} && x &\in (E_{\alpha})^{c} &\forall \alpha \\ \implies && x &\notin E_{\alpha} &\forall \alpha \\ \implies&& x&\notin \bigcup \limits_{\alpha}E_{\alpha} \\ \implies && x &\in \left( \bigcup \limits_{\alpha} E_{\alpha} \right)^{c} \end{align*}$$

  따라서

  $$\left( \bigcup \limits_{\alpha}E_{\alpha} \right)^{c} \supset \bigcap \limits_{\alpha} (E_{\alpha})^{c}$$

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