거리공간에서 폐포, 도집합
정의
$(X,d)$가 거리공간이라고 하자. $p \in X$이고 $E \subset X$라고 하자.
$d(q,p)<r$을 만족하는 모든 $q$들을 포함하는 집합을 점 $p$의 근방neighborhood이라고 정의하고 $N_{r}(p)$라고 표기한다. 이때 $r$을 $N_{r}(p)$의 반경이라고 부른다. 거리를 생략해도 될 경우 $N_{p}$와 같이 표기하기도 한다.
$p$의 모든 근방이 $q\ne p$이고 $q\in E$인 $q$를 포함하고 있으면 $p$를 $E$의 집적점limit point이라고 부른다.
$E$의 모든 집적점이 $E$에 포함될 경우 $E$가 닫혀있다closed고 한다.
$N\subset E$를 만족하는 $p$의 근방 $N$이 존재하면 $p$를 $E$의 내점interior point이라고 부른다.
$E$의 모든 점이 $E$의 내점일 경우 $E$가 열려있다open고 한다.
$E$의 모든 집적점들의 집합을 $E$의 도집합derived set이라 부르고 $E^{\prime}$라고 표기한다.
$E$와 $E^{\prime}$의 합집합을 폐포closure라 부르고 $\overline{E}=E\cup E^{\prime}$라고 표기한다.
정리1
$A,B\subset X$에 대해서 아래의 식이 성립한다.
(1a) $A\subset B \implies A^{\prime} \subset B^{\prime}$
(1b) $(A\cup B)^{\prime}=A^{\prime}\cup B^{\prime}$
(1c) $(A \cap B)^{\prime} \subset A^{\prime}\cap B^{\prime}$
증명
(1a)
$A\subset B$라고 가정하자. 그리고 $p\in A^{\prime}$라고 하자. 그러면 $p$는 $A$의 집적점이므로 집적점의 정의에 의해 아래의 문장이 성립한다. $p$의 모든 근방 $N$은 $q\ne p$이고 $q\in A$인 $q$를 포함한다. 이때 $A\subset B$라고 가정했으므로 위의 문장은 아래의 문장을 의미한다. $p$의 모든 근방 $N$은 $q\ne p$이고 $q\in B$인 $q$를 포함한다. 따라서 집적점의 정의에 의해 $p \in B^{\prime}$이다.
■
(1b)
part 1. $A^{\prime} \cup B^{\prime} \subset (A\cup B)^{\prime}$
$A\subset A\cup B$이고 $B \subset A\cup B$이므로 $(a1)$에 의해서 아래와 같다.
$$ A^{\prime} \subset (A\cup B)^{\prime} \quad \text{and} \quad B^{\prime} \subset (A \cup B)^{\prime} $$
따라서
$$ A^{\prime} \cup B^{\prime} \subset (A\cup B)^{\prime} $$
part 2. $(A\cup B)^{\prime} \subset A^{\prime}\cup B^{\prime}$
$p \in (A\cup B)^{\prime}$라고 하자. 그러면 집적점의 정의에 의해 $p$의 모든 근방 $N$은 $q\ne p$이고 $q\in A\cup B$인 $q$를 포함한다. $q\in A\cup B$를 다시 쓰면 $q\in A \text{ or } q\in B$이므로 이 말은 $p \in A^{\prime} \text{ or } p\in B^{\prime}$와 같다. 따라서 $p\in A^{\prime}\cup B^{\prime}$이므로 다음과 같다.
$$ (A\cup B)^{\prime} \subset A^{\prime}\cup B^{\prime} $$
part 3.
위의 결과를 종합하면 다음과 같다.
$$ A^{\prime}\cup B^{\prime} = (A\cup B)^{\prime} $$
■
(1c)
$A\cap B \subset A$이고 $A\cap B \subset B$이므로 (1a) 에 의해 다음과 같다.
$$ (A\cap B)^{\prime} \subset A^{\prime} \quad \text{and} \quad (A\cap B)^{\prime} \subset B^{\prime} $$
따라서
$$ (A\cap B)^{\prime} \subset A^{\prime}\cap B^{\prime} $$
■
정리2
$A,B \subset X$에 대해서 아래의 식이 성립한다.
(2a) $A\subset B \implies \overline{A} \subset \overline{B}$
(2b) $\overline{A\cup B} = \overline{A}\cup \overline{B}$
(2c) $\overline{A\cap B} \subset \overline{A}\cap \overline{B}$
증명
(2a)
$A \subset B$라고 가정하자. 그러면 (1a) 에 의해 $A^{\prime} \subset B^{\prime}$이다. 따라서
$$ \overline{A} = A\cup A^{\prime} \subset B \cup B^{\prime} = \overline{B} $$
■
(2b)
part 1. $\overline{A\cup B}\subset \overline{A}\cup \overline{B}$
$p \in \overline{A\cup B}$라고 하자. 그러면 $p\in A\cup B$이거나 $p \in (A\cup B)^{\prime}$라는 뜻이다.
case 1-1. $p \in A\cup B$
이 경우 $p \in A$이거나 $p \in B$이다. 그런데 $A \subset \overline{A}$이고 $B \subset \overline{B}$이므로
$$ p\in \overline{A}\ \text{or} \ p \in \overline{B}\implies p \in \overline{A}\cup \overline{B} $$
case 1-2. $p\in (A\cup B)^{\prime}$
(1b) 에 의해서 $p\in (A\cup B)^{\prime}=A^{\prime}\cup B^{\prime}$이다. 이는 $p\in A^{\prime}$이거나 $p\in B^{\prime}$라는 뜻이다. 그런데 $A^{\prime} \subset \overline{A}$이고 $B^{\prime} \subset \overline{B}$이므로 위의 경우에서와 마찬가지로
$$ p\in \overline{A}\ \text{or} \ p \in \overline{B}\implies p \in \overline{A}\cup\overline{B} $$
case 1-1, 1-2에 의해서 다음이 성립한다.
$$ \overline{A\cup B}\subset \overline{A}\cup \overline{B} $$
part 2. $\overline{A}\cup \overline{B} \subset \overline{A\cup B}$
$A \subset A\cup B$이고 $B\subset A\cup B$이므로 $(b1)$에 의해 다음이 성립한다.
$$ \overline{A} \subset \overline{A\cup B}\quad \text{and} \quad \overline{B}\subset \overline{A\cup B} $$
그러므로
$$ \overline{A}\cup \overline{B} \subset \overline{A\cup B} $$
■
(2c)
$p \in \overline{A\cap B}$라고 하자. 그러면 $p\in A\cap B$이거나 $p\in (A \cap B)^{\prime}$이다.
case 1. $p\in A\cap B$
이 경우 $p \in A$이면서 $p \in B$이다. 그런데 $A\subset \overline{A}$이고 $B\subset \overline{B}$이므로
$$ p\in A \ \text{and} \ \ p \in B \implies p\in \overline{A} \ \text{and} \ p \in \overline{B} \implies p\in \overline{A}\cap \overline{B} $$
case 2. $p \in (A\cap B)^{\prime}$
(1a) 에 의해서 $(A\cap B)^{\prime}\subset A^{\prime}$이고 $(A\cap B)^{\prime} \subset B^{\prime}$이다. 그런데 $A^{\prime}\subset \overline{A}$이고 $B^{\prime} \subset \overline{B}$이므로
$$ p\in A^{\prime} \ \text{and} \ p\in B^{\prime} \implies p\in \overline{A}\quad \text{and} \quad p\in \overline{B}\implies p\in \overline{A}\cap \overline{B} $$
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정리3
거리공간 $(X,d)$와 $E \subset X$에 대해서 아래의 사실들이 성립한다.
(3a) $\overline{E}$는 닫혀있다.
(3b) $E=\overline{E}$인 것과 동치는 $E$가 닫혀있는 것이다.
(3c) $E\subset F$를 만족하는 닫힌 집합 $F\subset X$에 대해서 $\overline{E} \subset F$가 성립한다.
(3a) 와 (3c) 에 의해서 $\overline{E}$는 $E$를 포함하는 가장 작은 $X$의 닫힌 부분집합이다.
증명
(3a)
$p \in X$이고 $p \notin \overline{E}$라고 하자. 다시 말해 $p \in (\overline{E})^{c}$이다. 그러면 $p$는 $E$의 점도 아니고 $E^{\prime}$의 점도 아니다. 따라서 집적점의 정의에 의해 $p$는 $N\cap E=\varnothing$인 근방 $N$을 적어도 하나 가진다. 따라서 $N\subset (\overline{E})^{c}$이고 $p$는 $(\overline{E})^{c}$의 임의의 점이었으므로 내점의 정의에 의해 $(\overline{E})^{c}$의 모든 점이 내점이고 이는 $(\overline{E})^{c}$가 열린집합임을 의미한다. $(\overline{E})^{c}$가 열린집합이므로$\overline{E}$는 닫힌 집합이다.1
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(3b)
$(\implies)$
$E=\overline{E}=E \cup E^{\prime}$이므로 $E$의 모든 집적점이 $E$의 원소이다. 이는 닫힌 집합의 정의이므로 $E$는 닫혀있다. 혹은 폐포와 닫힘의 정의로부터 바로 성립함을 알 수 있다.
$(\impliedby)$
닫힌 집합의 정의에 의해 $E$의 모든 집적점은 $E$에 포함된다. 따라서 $\overline{E}=E\cup E^{\prime}=E$
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(3c)
$F$를 $E\subset F \subset X$인 닫힌 집합이라고 하자. 그러면 (3b) 에 의해서 $F^{\prime} \subset \overline{F}=F$이다. 또한 (2a) 에 의해서 $E^{\prime} \subset F^{\prime} \subset F$이다. 따라서 다음이 성립한다.
$$ E \subset F \quad \text{and} \quad E^{\prime}\subset F $$
따라서
$$ E\cup E^{\prime} =\overline{E} \subset F $$
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정리4
$E$를 공집합이 아닌 실수 집합이고 위로 유계라고 하자. 그리고 $y=\sup E$라고 하자. 그러면 $y \in \overline{E}$이다. 또한 $E$가 닫혀있으면 $y \in E$이다.
증명
$y \in \overline{E}$인 것이 성립한다면 그 뒤의 명제는 (3a) 에 의해 자명하므로 $y \in \overline{E}$만 증명하도록 하겠다. 두 경우에 대해 나눠서 증명한다.
case 1. $y \in E$
$$ y \in E \subset \overline{E} $$
이므로 성립한다.
case 2. $y \notin E$
그러면 모든 양수 $h>0$에 대해서, $y-h<x<y$를 만족하는 $x\in E$가 존재한다. 이는 $y$의 모든 근방인 $N_{h}(y)$안에 $E$의 원소가 반드시 포함된다는 뜻이다. 따라서 정의에 의해 $y$는 $E$의 집적점이다. 그러므로 $y\in E\cup E^{\prime}=\overline{E}$
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정리2 참고 ↩︎