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거리공간에서 폐포, 도집합 📂거리공간

거리공간에서 폐포, 도집합

정의

(X,d)(X,d)가 거리공간이라고 하자. p∈Xp \in X이고 E⊂XE \subset X라고 하자.

  • d(q,p)<rd(q,p)<r을 만족하는 모든 qq들을 포함하는 집합을 점 pp의 근방neighborhood이라고 정의하고 Nr(p)N_{r}(p)라고 표기한다. 이때 rr을 Nr(p)N_{r}(p)의 반경이라고 부른다. 거리를 생략해도 될 경우 NpN_{p}와 같이 표기하기도 한다.

  • pp의 모든 근방이 q≠pq\ne p이고 q∈Eq\in E인 qq를 포함하고 있으면 pp를 EE의 집적점limit point이라고 부른다.

  • EE의 모든 집적점이 EE에 포함될 경우 EE가 닫혀있다closed고 한다.

  • N⊂EN\subset E를 만족하는 pp의 근방 NN이 존재하면 pp를 EE의 내점interior point이라고 부른다.

  • EE의 모든 점이 EE의 내점일 경우 EE가 열려있다open고 한다.

  • EE의 모든 집적점들의 집합을 EE의 도집합derived set이라 부르고 E′E^{\prime}라고 표기한다.

  • EE와 E′E^{\prime}의 합집합을 폐포closure라 부르고 E‾=E∪E′\overline{E}=E\cup E^{\prime}라고 표기한다.

정리1

A,B⊂XA,B\subset X에 대해서 아래의 식이 성립한다.

(1a) A⊂B  ⟹  A′⊂B′A\subset B \implies A^{\prime} \subset B^{\prime}

(1b) (A∪B)′=A′∪B′(A\cup B)^{\prime}=A^{\prime}\cup B^{\prime}

(1c) (A∩B)′⊂A′∩B′(A \cap B)^{\prime} \subset A^{\prime}\cap B^{\prime}

증명

(1a)

A⊂BA\subset B라고 가정하자. 그리고 p∈A′p\in A^{\prime}라고 하자. 그러면 pp는 AA의 집적점이므로 집적점의 정의에 의해 아래의 문장이 성립한다. pp의 모든 근방 NN은 q≠pq\ne p이고 q∈Aq\in A인 qq를 포함한다. 이때 A⊂BA\subset B라고 가정했으므로 위의 문장은 아래의 문장을 의미한다. pp의 모든 근방 NN은 q≠pq\ne p이고 q∈Bq\in B인 qq를 포함한다. 따라서 집적점의 정의에 의해 p∈B′p \in B^{\prime}이다.

■

(1b)

  • part 1. A′∪B′⊂(A∪B)′A^{\prime} \cup B^{\prime} \subset (A\cup B)^{\prime}

    A⊂A∪BA\subset A\cup B이고 B⊂A∪BB \subset A\cup B이므로 (a1)(a1)에 의해서 아래와 같다.

    A′⊂(A∪B)′andB′⊂(A∪B)′ A^{\prime} \subset (A\cup B)^{\prime} \quad \text{and} \quad B^{\prime} \subset (A \cup B)^{\prime}

    따라서

    A′∪B′⊂(A∪B)′ A^{\prime} \cup B^{\prime} \subset (A\cup B)^{\prime}

  • part 2. (A∪B)′⊂A′∪B′(A\cup B)^{\prime} \subset A^{\prime}\cup B^{\prime}

    p∈(A∪B)′p \in (A\cup B)^{\prime}라고 하자. 그러면 집적점의 정의에 의해 pp의 모든 근방 NN은 q≠pq\ne p이고 q∈A∪Bq\in A\cup B인 qq를 포함한다. q∈A∪Bq\in A\cup B를 다시 쓰면 q∈A or q∈Bq\in A \text{ or } q\in B이므로 이 말은 p∈A′ or p∈B′p \in A^{\prime} \text{ or } p\in B^{\prime}와 같다. 따라서 p∈A′∪B′p\in A^{\prime}\cup B^{\prime}이므로 다음과 같다.

    (A∪B)′⊂A′∪B′ (A\cup B)^{\prime} \subset A^{\prime}\cup B^{\prime}

  • part 3.

    위의 결과를 종합하면 다음과 같다.

    A′∪B′=(A∪B)′ A^{\prime}\cup B^{\prime} = (A\cup B)^{\prime}

■

(1c)

A∩B⊂AA\cap B \subset A이고 A∩B⊂BA\cap B \subset B이므로 (1a) 에 의해 다음과 같다.

(A∩B)′⊂A′and(A∩B)′⊂B′ (A\cap B)^{\prime} \subset A^{\prime} \quad \text{and} \quad (A\cap B)^{\prime} \subset B^{\prime}

따라서

(A∩B)′⊂A′∩B′ (A\cap B)^{\prime} \subset A^{\prime}\cap B^{\prime}

■

정리2

A,B⊂XA,B \subset X에 대해서 아래의 식이 성립한다.

(2a) A⊂B  ⟹  A‾⊂B‾A\subset B \implies \overline{A} \subset \overline{B}

(2b) A∪B‾=A‾∪B‾\overline{A\cup B} = \overline{A}\cup \overline{B}

(2c) A∩B‾⊂A‾∩B‾\overline{A\cap B} \subset \overline{A}\cap \overline{B}

증명

(2a)

A⊂BA \subset B라고 가정하자. 그러면 (1a) 에 의해 A′⊂B′A^{\prime} \subset B^{\prime}이다. 따라서

A‾=A∪A′⊂B∪B′=B‾ \overline{A} = A\cup A^{\prime} \subset B \cup B^{\prime} = \overline{B}

■

(2b)

  • part 1. A∪B‾⊂A‾∪B‾\overline{A\cup B}\subset \overline{A}\cup \overline{B}

    p∈A∪B‾p \in \overline{A\cup B}라고 하자. 그러면 p∈A∪Bp\in A\cup B이거나 p∈(A∪B)′p \in (A\cup B)^{\prime}라는 뜻이다.

    • case 1-1. p∈A∪Bp \in A\cup B

      이 경우 p∈Ap \in A이거나 p∈Bp \in B이다. 그런데 A⊂A‾A \subset \overline{A}이고 B⊂B‾B \subset \overline{B}이므로

      p∈A‾ or p∈B‾  ⟹  p∈A‾∪B‾ p\in \overline{A}\ \text{or} \ p \in \overline{B}\implies p \in \overline{A}\cup \overline{B}

    • case 1-2. p∈(A∪B)′p\in (A\cup B)^{\prime}

      (1b) 에 의해서 p∈(A∪B)′=A′∪B′p\in (A\cup B)^{\prime}=A^{\prime}\cup B^{\prime}이다. 이는 p∈A′p\in A^{\prime}이거나 p∈B′p\in B^{\prime}라는 뜻이다. 그런데 A′⊂A‾A^{\prime} \subset \overline{A}이고 B′⊂B‾B^{\prime} \subset \overline{B}이므로 위의 경우에서와 마찬가지로

      p∈A‾ or p∈B‾  ⟹  p∈A‾∪B‾ p\in \overline{A}\ \text{or} \ p \in \overline{B}\implies p \in \overline{A}\cup\overline{B}

    case 1-1, 1-2에 의해서 다음이 성립한다.

    A∪B‾⊂A‾∪B‾ \overline{A\cup B}\subset \overline{A}\cup \overline{B}

  • part 2. A‾∪B‾⊂A∪B‾\overline{A}\cup \overline{B} \subset \overline{A\cup B}

    A⊂A∪BA \subset A\cup B이고 B⊂A∪BB\subset A\cup B이므로 (b1)(b1)에 의해 다음이 성립한다.

    A‾⊂A∪B‾andB‾⊂A∪B‾ \overline{A} \subset \overline{A\cup B}\quad \text{and} \quad \overline{B}\subset \overline{A\cup B}

    그러므로

    A‾∪B‾⊂A∪B‾ \overline{A}\cup \overline{B} \subset \overline{A\cup B}

■

(2c)

p∈A∩B‾p \in \overline{A\cap B}라고 하자. 그러면 p∈A∩Bp\in A\cap B이거나 p∈(A∩B)′p\in (A \cap B)^{\prime}이다.

  • case 1. p∈A∩Bp\in A\cap B

    이 경우 p∈Ap \in A이면서 p∈Bp \in B이다. 그런데 A⊂A‾A\subset \overline{A}이고 B⊂B‾B\subset \overline{B}이므로

    p∈A and  p∈B  ⟹  p∈A‾ and p∈B‾  ⟹  p∈A‾∩B‾ p\in A \ \text{and} \ \ p \in B \implies p\in \overline{A} \ \text{and} \ p \in \overline{B} \implies p\in \overline{A}\cap \overline{B}

  • case 2. p∈(A∩B)′p \in (A\cap B)^{\prime}

    (1a) 에 의해서 (A∩B)′⊂A′(A\cap B)^{\prime}\subset A^{\prime}이고 (A∩B)′⊂B′(A\cap B)^{\prime} \subset B^{\prime}이다. 그런데 A′⊂A‾A^{\prime}\subset \overline{A}이고 B′⊂B‾B^{\prime} \subset \overline{B}이므로

    p∈A′ and p∈B′  ⟹  p∈A‾andp∈B‾  ⟹  p∈A‾∩B‾ p\in A^{\prime} \ \text{and} \ p\in B^{\prime} \implies p\in \overline{A}\quad \text{and} \quad p\in \overline{B}\implies p\in \overline{A}\cap \overline{B}

■

정리3

거리공간 (X,d)(X,d)와 E⊂XE \subset X에 대해서 아래의 사실들이 성립한다.

(3a) E‾\overline{E}는 닫혀있다.

(3b) E=E‾E=\overline{E}인 것과 동치는 EE가 닫혀있는 것이다.

(3c) E⊂FE\subset F를 만족하는 닫힌 집합 F⊂XF\subset X에 대해서 E‾⊂F\overline{E} \subset F가 성립한다.

(3a) 와 (3c) 에 의해서 E‾\overline{E}는 EE를 포함하는 가장 작은 XX의 닫힌 부분집합이다.

증명

(3a)

p∈Xp \in X이고 p∉E‾p \notin \overline{E}라고 하자. 다시 말해 p∈(E‾)cp \in (\overline{E})^{c}이다. 그러면 pp는 EE의 점도 아니고 E′E^{\prime}의 점도 아니다. 따라서 집적점의 정의에 의해 pp는 N∩E=∅N\cap E=\varnothing인 근방 NN을 적어도 하나 가진다. 따라서 N⊂(E‾)cN\subset (\overline{E})^{c}이고 pp는 (E‾)c(\overline{E})^{c}의 임의의 점이었으므로 내점의 정의에 의해 (E‾)c(\overline{E})^{c}의 모든 점이 내점이고 이는 (E‾)c(\overline{E})^{c}가 열린집합임을 의미한다. (E‾)c(\overline{E})^{c}가 열린집합이므로E‾\overline{E}는 닫힌 집합이다.1

■

(3b)

  • (  ⟹  )(\implies)

    E=E‾=E∪E′E=\overline{E}=E \cup E^{\prime}이므로 EE의 모든 집적점이 EE의 원소이다. 이는 닫힌 집합의 정의이므로 EE는 닫혀있다. 혹은 폐포와 닫힘의 정의로부터 바로 성립함을 알 수 있다.

  • (  ⟸  )(\impliedby)

    닫힌 집합의 정의에 의해 EE의 모든 집적점은 EE에 포함된다. 따라서 E‾=E∪E′=E\overline{E}=E\cup E^{\prime}=E

■

(3c)

FF를 E⊂F⊂XE\subset F \subset X인 닫힌 집합이라고 하자. 그러면 (3b) 에 의해서 F′⊂F‾=FF^{\prime} \subset \overline{F}=F이다. 또한 (2a) 에 의해서 E′⊂F′⊂FE^{\prime} \subset F^{\prime} \subset F이다. 따라서 다음이 성립한다.

E⊂FandE′⊂F E \subset F \quad \text{and} \quad E^{\prime}\subset F

따라서

E∪E′=E‾⊂F E\cup E^{\prime} =\overline{E} \subset F

■

정리4

EE를 공집합이 아닌 실수 집합이고 위로 유계라고 하자. 그리고 y=sup⁡Ey=\sup E라고 하자. 그러면 y∈E‾y \in \overline{E}이다. 또한 EE가 닫혀있으면 y∈Ey \in E이다.

증명

y∈E‾y \in \overline{E}인 것이 성립한다면 그 뒤의 명제는 (3a) 에 의해 자명하므로 y∈E‾y \in \overline{E}만 증명하도록 하겠다. 두 경우에 대해 나눠서 증명한다.

  • case 1. y∈Ey \in E

    y∈E⊂E‾ y \in E \subset \overline{E}

    이므로 성립한다.

  • case 2. y∉Ey \notin E

    그러면 모든 양수 h>0h>0에 대해서, y−h<x<yy-h<x<y를 만족하는 x∈Ex\in E가 존재한다. 이는 yy의 모든 근방인 Nh(y)N_{h}(y)안에 EE의 원소가 반드시 포함된다는 뜻이다. 따라서 정의에 의해 yy는 EE의 집적점이다. 그러므로 y∈E∪E′=E‾y\in E\cup E^{\prime}=\overline{E}

    ■

  1. 정리2 참고 ↩︎