조화급수의 발산성에 대한 오렘의 증명
정리
조화급수는 발산한다.
$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ n } }=\infty $$
설명
조화급수는 언뜻 보기에 그 값이 계속 작아지므로 수렴할 것도 같지만 오렘은 이것이 발산한다는 것을 매우 간단하고 아름답게 증명했다. 이러한 팩트는 주로 절대수렴의 개념을 설명하기 위한 예시로써 잘 쓰이는데, 교대조화급수는 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {{(-1)^{n-1}} \over {n}} = 1- {1 \over 2} + { 1 \over 3} - { 1 \over 4 }+ \cdots = \ln 2 < \infty$ 와 같이 수렴하는 반면 그 절댓값들의 급수인 조화급수는 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left| {{(-1)^{n-1}} \over {n}} \right| = \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ n } }=\infty$가 성립한다. 따라서 ‘수렴한다고 해서 반드시 절대수렴하지 않는다’를 설명하는 가장 간단한 예시가 된다. 또한 ‘무한급수가 수렴하면 수열은 0에 수렴한다’라는 명제의 역이 성립하지 않음을 보이기 위한 반례로도 좋다.
증명
증명의 핵심은 무한히 많은 $1/2$ 의 합이 발산하는데 그 합보다 조화급수가 크다는 사실이다. 전혀 어렵지 않으면서도 깔끔한 증명법이다.
$$ \begin{align*} & \frac { 1 }{ 1 }+\frac { 1 }{ 2 }+\frac { 1 }{ 3 }+\frac { 1 }{ 4 }+\frac { 1 }{ 5 }+\frac { 1 }{ 6 }+\frac { 1 }{ 7 }+\frac { 1 }{ 8 }+\frac { 1 }{ 9 }+\cdots \\ =& \frac { 1 }{ 1 }+\frac { 1 }{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ 3 }+\frac { 1 }{ 4 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 5 }+\frac { 1 }{ 6 }+\frac { 1 }{ 7 }+\frac { 1 }{ 8 } \right) +\frac { 1 }{ 9 }+\cdots \\ >& 1+\frac { 1 }{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ 4 }+\frac { 1 }{ 4 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 8 }+\frac { 1 }{ 8 }+\frac { 1 }{ 8 }+\frac { 1 }{ 8 } \right) +\cdots \\ =& 1+\frac { 1 }{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 }+\cdots \end{align*} $$
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