해석학에서 극대의 정의와 미분 계수와의 관계
정의
$(X,d)$를 거리공간이라고 하자. 함수 $f : X \rightarrow \mathbb{R}$에 대해서 아래의 조건을 만족하는 양수 $\delta >0$가 존재하면, $f$는 점 $p \in X$에서 극대local maximum를 가진다 고 한다.
$$ \forall q\in X,\quad f(q)\le f(p)\ \mathrm{with}\ d(p,q)<\delta $$
설명
말로 풀어서 설명하면 다음과 같다:
부등호 방향을 반대로 두면 극소local minima의 정의가 된다.
$(X,d)$를 거리공간이라고 하자. 함수 $f : X \rightarrow \mathbb{R}$에 대해서 아래의 조건을 만족하는 양수 $\delta >0$가 존재하면, $f$는 점 $p \in X$에서 극소를 가진다 고 한다.
$$ \forall q\in X,\quad f(q )\ge f(p)\ \mathrm{with}\ d(p,q)<\delta $$
영단어 local maximum/minimum 과 relative maximum/minimum 은 모두 극대/극소를 뜻하는 말이다.
고등학교 수학에서는 극한, 연속, 미분을 엄밀하게 정의하지 않았기 때문에 ‘미분 했을 때 $0$이고 좌우에서 미분계수의 부호가 바뀌는 곳’을 극대/극소라 불렀다. 해석학에서는 우선 극대/극소를 정의하고 그에 따라서 $f$가 미분 가능하다면 극대/극소에서 미분 계수가 $0$임을 증명할 수 있다.
정리
구간 $[a,b]$에서 정의된 함수 $f$가 주어졌다고 하자. $f$가 $x\in (a,b)$에서 극대를 가지고 $x$에서 미분계수 $f^{\prime}(x)$가 존재한다고 하자. 그러면 $f^{\prime}(x)=0$이다.
NOTE: 역은 성립하지 않음 에 주의하라. 다시 말해 $f^{\prime}(x)=0$이라고 해서 $x$가 극대 혹은 극소라는 보장은 없다.
증명
극소인 경우에도 증명 방법은 같다.
$f$가 $x$에서 극대를 가진다고 가정했으므로 정의에서와 같은 양수 $\delta$를 아래와 같이 선택할 수 있다.
$$ a<x-\delta < x <x+\delta <b $$
$x$를 기준으로 해서 $x$보다 작은 점, 큰 점으로 나누어서 생각해보자.
Case 1.
$x-\delta < t < x$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
$$ \frac{f(t)-f(x)}{t-x} \ge 0 $$
$f(x)$는 극대이므로 $t\rightarrow x$인 극한을 취해도 부호가 바뀌지 않는다. 따라서 미분계수의 정의에 의해 다음이 성립한다.
$$ \begin{equation} f^{\prime}(x)=\lim \limits_{t\rightarrow x} \frac{f(t)-f(x)}{t-x} \ge 0 \end{equation} $$
Case 2.
$x<t<x-\delta$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
$$ \frac{f(t)-f(x)}{t-x} \le 0 $$
Case 1. 에서와 같은 이유로 아래의 식이 성립한다.
$$ \begin{equation} f^{\prime}(x)=\lim \limits_{t\rightarrow x} \frac{f(t)-f(x)}{t-x} \le 0 \end{equation} $$
$f^{\prime}(x)$는 $(1)$과 $(2)$를 동시에 만족시켜야하므로 다음을 얻는다.
$$ f^{\prime}(x)=0 $$
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