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해석학에서 극대의 정의와 미분 계수와의 관계 📂해석개론

해석학에서 극대의 정의와 미분 계수와의 관계

정의

(X,d)(X,d)를 거리공간이라고 하자. 함수 f:X→Rf : X \rightarrow \mathbb{R}에 대해서 아래의 조건을 만족하는 양수 δ>0\delta >0가 존재하면, ff는 점 p∈Xp \in X에서 극대local maximum를 가진다 고 한다.

∀q∈X,f(q)≤f(p) with d(p,q)<δ \forall q\in X,\quad f(q)\le f(p)\ \mathrm{with}\ d(p,q)<\delta

설명

말로 풀어서 설명하면 다음과 같다:

pp를 기준으로 거리 δ\delta만큼 떨어진 곳 안에서만큼은 f(p)f(p)가 제일 크다면, f(p)f(p)를 ff의 극대라고 부른다.

부등호 방향을 반대로 두면 극소local minima의 정의가 된다.

(X,d)(X,d)를 거리공간이라고 하자. 함수 f:X→Rf : X \rightarrow \mathbb{R}에 대해서 아래의 조건을 만족하는 양수 δ>0\delta >0가 존재하면, ff는 점 p∈Xp \in X에서 극소를 가진다 고 한다.

∀q∈X,f(q)≥f(p) with d(p,q)<δ \forall q\in X,\quad f(q )\ge f(p)\ \mathrm{with}\ d(p,q)<\delta

영단어 local maximum/minimum 과 relative maximum/minimum 은 모두 극대/극소를 뜻하는 말이다.

고등학교 수학에서는 극한, 연속, 미분을 엄밀하게 정의하지 않았기 때문에 ‘미분 했을 때 00이고 좌우에서 미분계수의 부호가 바뀌는 곳’을 극대/극소라 불렀다. 해석학에서는 우선 극대/극소를 정의하고 그에 따라서 ff가 미분 가능하다면 극대/극소에서 미분 계수가 00임을 증명할 수 있다.

정리

구간 [a,b][a,b]에서 정의된 함수 ff가 주어졌다고 하자. ff가 x∈(a,b)x\in (a,b)에서 극대를 가지고 xx에서 미분계수 f′(x)f^{\prime}(x)가 존재한다고 하자. 그러면 f′(x)=0f^{\prime}(x)=0이다.

NOTE: 역은 성립하지 않음 에 주의하라. 다시 말해 f′(x)=0f^{\prime}(x)=0이라고 해서 xx가 극대 혹은 극소라는 보장은 없다.

증명

극소인 경우에도 증명 방법은 같다.

ff가 xx에서 극대를 가진다고 가정했으므로 정의에서와 같은 양수 δ\delta를 아래와 같이 선택할 수 있다.

a<x−δ<x<x+δ<b a<x-\delta < x <x+\delta <b

xx를 기준으로 해서 xx보다 작은 점, 큰 점으로 나누어서 생각해보자.

  • Case 1.

    x−δ<t<xx-\delta < t < x라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

    f(t)−f(x)t−x≥0 \frac{f(t)-f(x)}{t-x} \ge 0

    f(x)f(x)는 극대이므로 t→xt\rightarrow x인 극한을 취해도 부호가 바뀌지 않는다. 따라서 미분계수의 정의에 의해 다음이 성립한다.

    f′(x)=lim⁡t→xf(t)−f(x)t−x≥0 \begin{equation} f^{\prime}(x)=\lim \limits_{t\rightarrow x} \frac{f(t)-f(x)}{t-x} \ge 0 \end{equation}

  • Case 2.

    x<t<x−δx<t<x-\delta라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

    f(t)−f(x)t−x≤0 \frac{f(t)-f(x)}{t-x} \le 0

    Case 1. 에서와 같은 이유로 아래의 식이 성립한다.

    f′(x)=lim⁡t→xf(t)−f(x)t−x≤0 \begin{equation} f^{\prime}(x)=\lim \limits_{t\rightarrow x} \frac{f(t)-f(x)}{t-x} \le 0 \end{equation}

f′(x)f^{\prime}(x)는 (1)(1)과 (2)(2)를 동시에 만족시켜야하므로 다음을 얻는다.

f′(x)=0 f^{\prime}(x)=0

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