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등차수열의 합 구하기

공식

초항이 $a$ 고 공차가 $d$ 인 등차수열 $a_{n} = a+(n-1)d$ 에 대해 $$\sum_{k=1}^{n} a_{k}= {{n \left\{ 2a + (n-1)d \right\} } \over {2}}$$

설명

처음에 한 번 보고는 다시 이 형태로 쓸 일이 없긴 한 급수지만 이 모양을 잊되 증명을 잊어서는 안 된다. 증명이 쉽고 간단하다고 해도 한번정도는 반드시 손으로 직접 쓰면서 익혀보도록 하자.

등차수열의 합 중 가장 자주쓰이는 것은 바로 자연수 $n$까지의 합이다. 이 경우, $a=1$ 이고 $d=1$ 인 등차수열이 된다.

자연수의 합

$$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} {k} = {{n(n+1)} \over {2}} \end{align*}$$

수험생이라면 너무 자주 써서 아예 $n=10$ 일 때 55, $n=100$일 때 5050라는 걸 외우고 있을 것이다. 대학생이 되어서도 의외로 종종 쓸 일이 있으니, 다 까먹더라도 이 공식은 잊지 말자.

증명

$$\begin{align*} S:= \sum_{k=1}^{n} a_{k} \end{align*}$$ 라고 두면 $$S= a + (a+d) + \cdots + (a + (n-2)d) + (a + (n-1)d)$$ 인데, 이 순서를 거꾸로 적어보면 $$S = \left\{ a + (n-1)d \right\} + \left\{ a + (n-2)d \right\} + \cdots + (a+d) + a$$ 이기도 하다. 양변을 더하면 $$2S = \left[ \left\{ 2a + (n-1)d \right\} + \left\{ 2a + (n-1)d \right\} + \cdots +\left\{ 2a + (n-1)d \right\} + \left\{ 2a + (n-1)d \right\} \right]$$ 인데, 총 $n$ 개의 항을 더했으므로 $$2S = n \left\{ 2a + (n-1)d \right\}$$ 양변을 2로 나누면 다음을 얻는다. $$\sum_{k=1}^{n} a_{k}= {{n \left\{ 2a + (n-1)d \right\} } \over {2}}$$

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