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중심력을 받는 입자의 궤도 방정식

중심력을 받는 입자의 궤도 방정식¹

중심력을 받는 질량이 $m$인 입자의 운동 방정식을 극좌표계로 표현하면 아래와 같다.

$$\begin{equation} m\ddot{\mathbf{r}}=F(r)\hat{\mathbf{r}} \label{eq1} \end{equation}$$

$F(r)$은 입자에 작용하는 중심력이다. 극좌표계에서 가속도는 아래와 같다.

$$\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{a}=\left( \ddot{r}-r\dot{\theta}{}^{2} \right)\hat{\mathbf{r}} +\left(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta} \right)\hat{\boldsymbol{\theta}}$$

따라서 운동 방정식 $\eqref{eq1}$을 성분별로 나눠서 쓰면 아래와 같다.

$$\begin{align} m\left( \ddot{r}-r\dot{\theta}{}^{2} \right) &= F(r) \label{eq2} \\ m\left( 2\dot{r} \dot{\theta} +r\ddot{\theta}\right) &= 0 \nonumber \end{align}$$

이 때 $\frac{1}{r}\frac{ d }{ dt }(r^{2}\dot{\theta})=2\dot{r} \dot{\theta} +r\ddot{\theta}$ 이므로 위의 두번째 식을 아래와 같이 적을 수 있다.

$$\frac{ d }{ d t }(r^{2}\dot{\theta})=0$$

이는 $r^{2}\dot{\theta}$가 상수라는 의미이다. 이제 그 상수를 $l$이라고 하자.

$$\begin{equation} r^{2}\dot{\theta}=\text{constant}=l \label{eq3} \end{equation}$$

한편 중심력에 의해 운동하는 입자의 각운동량의 크기 아래와 같다.

$$\begin{equation} L=mr^{2}\dot{\theta} \tag{4} \label{eq4} \end{equation}$$

따라서 $\eqref{eq3}$, $\eqref{eq4}$에 의해 다음의 식을 얻는다.

$$\left| l \right| =\frac{ L}{ m }=\left| \mathbf{r} \times \mathbf{v} \right|$$

가 성립한다. 따라서 $l$은 입자의 단위 질량당 각운동량으로 해석할 수 있다. $l$이 상수라는 것은 중심력에 의해 움직이는 입자의 각운동량은 보존된다는 이미 알고 있는 결과이다. 따라서 시간에 무관한 공간에서의 입자의 경로인 궤도 방정식을 구하기 위해 아래와 같이 새로운 변수를 도입하자.

$$u=\frac{1}{r}$$

그러면 $\eqref{eq3}$에 의해 $\dot{\theta}=lu^{2}$이다. 이제 $\dot{r}$, $\ddot{r}$을 구해보면 아래와 같다.

$$\begin{align*} \dot{r} &= \frac{ d }{ d t}\left( \frac{1}{u} \right) \\ &= \dfrac{d}{du}\left(\frac{1}{u} \right) \frac{ d u}{ dt } = -\frac{ 1 }{ u^{2} }\frac{ d u}{ d t } \\ &= -\frac{ 1}{ u^{2} }\frac{ d u}{ d \theta }\frac{ d \theta}{ d t } =-\frac{1}{u^{2}}\dot{\theta} \frac{ d u}{ d\theta } \\ &= -l\frac{ d u}{ d\theta } \end{align*}$$

$$\begin{align*} \ddot{r} &= -l\frac{ d }{ dt }\left( \frac{ d u}{ d \theta } \right) \\ &= -l \frac{ d }{ d\theta }\left( \frac{ d u}{ d\theta } \right)\frac{ d \theta}{ d t } \\ &= -l\dot{\theta} \frac{ d ^{2}u }{ d \theta^{2} } \\ &= -l^{2}u^{2}\frac{ d ^{2}u}{ d \theta^{2} } \end{align*}$$

이제 이 둘을 $\eqref{eq2}$에 대입하면 아래의 식을 얻는다.

$$\begin{align*} && -ml^{2}u^{2}\frac{ d ^{2} u}{ d \theta^{2} }-ml^{2}u^{3}&=F({\textstyle \frac{1}{u}}) \\ \implies && \frac{ d^{2} u}{ d \theta^{2}}+u&=-\frac{1}{ml^{2}u^{2}}F({\textstyle \frac{1}{u}}) \end{align*}$$

여기서 힘 $F$가 중력과 같이 거리 역제곱에 비례하는 경우 궤도는 타원이 되고 이를 행성의 운동에 적용한 것이 케플러 제 1법칙이다.