📂기하학

타원의 방정식 유도

공식

중점이 $(x_{0},y_{0})$이고 장반경이 $a$, 단반경이 $b$인 타원의 방정식은 아래와 같다.

$$\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1$$

설명

타원은 두 초점까지의 거리의 합이 일정한 점들의 집합이다.

유도

위 그림과 같은 타원이 있다고 하자. 타원의 정의에 의해 아래와 같은 방정식을 세울 수 있다.

$$ \begin{align*} \overline{F^{\prime}P} +\overline{PF} =&\ \text{constant} \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=&
\end{align*} $$

이때 점 $P$가 $A$에 있는 경우를 생각해보면 그 일정한 거리의 합은 $2a$라는 것을 알 수 있다. 따라서

$$\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a$$

좌변의 첫째항을 우변으로 넘기고 양변을 제곱해주면 아래와 같다.

$$(x-c)^{2} + y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+(x+c)^{2}+y^{2}$$

이제 한 쪽에는 루트가 있는 항만 남겨서 정리하면 아래와 같다.

$$a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=cx+a^{2}$$

이제 다시 양변을 제곱하면 아래와 같다.

$$\begin{equation} \begin{align*} && a^{2}({\color{green}x^{2}} + 2cx + {\color{blue}c^{2}})+a^{2}y^{2} =&\ {\color{green}c^{2}x^{2}} + 2a^{2}cx + {\color{blue}a^{4}} \\ \implies&& {\color{green}(a^{2}-c^{2})x^{2}} + a^{2}y^{2}= & {\color{blue}a^{2}(a^{2}-c^{2})} \end{align*} \end{equation}$$

이때 점 $P$가 $B$의 위치에 있다면 위 식에 $x=0$, $y=b$를 대입하여 아래의 식을 얻는다.

$$\begin{equation} \begin{align*} && a^{2}b^{2} =&\ a^{2}(a^{2}-c^{2}) \\ \implies && b^{2}=&\a^{2}-c^{2} \end{align*} \end{equation}$$

$(2)$를 다시 $(1)$에 대입하면 아래의 식을 얻는다.

$$\begin{align*} && b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2} =&\ a^{2}b^{2} \\ \implies && \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2} }{b^{2}} =&\ 1 \end{align*}$$

만약 타원의 중점이 $(x_{0},y_{0})$인 경우는 중점이 원점인 타원의 모든 점이 $x$축으로 $x_{0}$만큼, $y$축으로 $y_{0}$만큼 평행이동 하는 것과 같으므로

$$\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2} }{b^{2}}=1$$

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