📂미분적분학

쌍곡함수의 미분법

정리¹

$$ \left( \sinh x \right)^{\prime} = \cosh x $$

$$ \left( \cosh x \right)^{\prime} = \sinh x $$

$$ \left( \tanh x \right)^{\prime} = \text{sech}^{2} x $$

설명

쌍곡함수의 미분법은 사실 증명할 것도 외울 것도 별로 없다. 증명은 그냥 단순히 정의를 이용할 뿐이고 모양새도 삼각함수에서 부호만 뗀 정도기 때문이다. 하이퍼볼릭 사인에 대한 증명법으로 하이퍼볼릭 코사인의 도함수도 쉽게 구할 수 있다. 하이퍼볼릭 탄젠트의 도함수는 분수의 미분법을 적용시켜서 얻는다.

증명

$\sinh$

$\sinh x = {{e^x - e^{-x}} \over {2}}$ 이므로

$$ \left( \sinh x \right)^{\prime} = {{e^x - (-1) e^{-x}} \over {2}} = {{e^x + e^{-x}} \over {2}} = \cosh x $$

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$\tanh$

$$ \left( \tanh x \right)^{\prime} = \left( { {\sinh x} \over {\cosh x } } \right)^{\prime} $$

앞서 구한 미분공식 $\left( \sinh x \right)^{\prime} = \cosh x $, $\left( \cosh x \right)^{\prime} = \sinh x$ 에 따라

$$ \left( { {\sinh x} \over {\cosh x } } \right)^{\prime} = { {\cosh ^{2} x - \sinh ^{2} x} \over {\cosh ^{2} x } } = \text{sech} ^{2} x $$

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