📂고전역학

입자계의 운동 에너지

입자계의 운동 에너지¹

입자계의 선운동량과 각운동량을 정의했던 것처럼 입자계의 운동 에너지 역시 각 입자의 운동에너지의 합으로 자연스럽게 정의할 수 있다.

$$\begin{equation} T=\sum \limits _{i=1} ^{n} \frac{ 1}{ 2 }m_{i}v_{i}^{2} \label{kinetic} \end{equation}$$

이제 입자계의 선운동량, 각운동량을 질량중심에 대해서 나타냈던 것과 같은 작업을 할 것이다. 우선 각 입자의 위치 벡터를 아래 그림과 같이 질량 중심에 대한 표현으로 나타내자.

$$\mathbf{r}_{i}=\mathbf{r}_{cm}+\overline{\mathbf{r}}_{i}$$

이를 시간에 대해서 미분하면 다음과 같다.

$$\mathbf{v}_{i}=\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i}$$

위 식을 $\eqref{kinetic}$에 대입하면 아래와 같다.

$$\begin{align*} T &= \sum \limits _{i=1} ^{n}\textstyle{\frac{1}{2}}m_{i}(\mathbf{v}_{i}\cdot \mathbf{v}_{i}) \\ &= \sum \limits _{i=1} ^{n}\textstyle{\frac{1}{2}}m_{i}(\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i})\cdot (\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i}) \\ \ &= \sum \limits _{i=1} ^{n} \textstyle{\frac{1}{2}}m_{i}v_{cm}^{2}+\sum \limits _{i=1} ^{n}m_{i}(\mathbf{v}_{cm}\cdot \overline{\mathbf{v}}_{i})+\sum \limits _{i=1} ^{n}\textstyle{\frac{1}{2}}m_{i}\overline{v}_{i}^{2} \\ &= \textstyle{\frac{1}{2}}v_{cm}^{2} \sum \limits _{i=1} ^{n}m_{i}+\mathbf{v}_{cm}\cdot \left( \sum \limits _{i=1} ^{n}m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}\right)+\sum \limits _{i=1} ^{n}\textstyle{\frac{1}{2}}m_{i}\overline{v}_{i}^{2} \end{align*}$$

이때 두번째항의 괄호는 $\mathbf{0}$ 이다.² 따라서 입자계의 운동 에너지는 아래와 같다.

$$T=\textstyle{\frac{1}{2}}mv_{cm}^{2} + \sum \limits _{i=1} ^{n}\frac{1}{2}m_{i}\overline{v}_{i}^{2}$$

첫째항은 질량 중심에 대한 운동 에너지이다. 두번째항은 각 입자의 질량중심에대한 운동 에너지이다. 이와 같이 운동 에너지를 질량 중심에 관한 항과 질량 중심을 기준으로 했을 때의 상대적인 항으로 나누어 이해하는 것은 물리학의 많은 부분에서 도움이 된다.