📂고전역학

각운동량과 토크

각운동량¹

운동량은 병진 운동하는 물체의 운동 상태를 나태는 물리량이다. 질량이 클수록, 속도가 빠를수록 운동량이 크다. 물리학에서는 물체의 운동이 어떻게 변화하는지에 대해서 관심이 있다. 그래서 물체의 운동상태를 바꾸는 원인인 힘을 운동량의 변화로 표현하는 것이다.

$$ \mathbf{F}=\frac{d \mathbf{p}}{dt} $$

이제 회전 운동에 대해서도 이와 비슷한 물리량을 정의하려고 한다. 회전 운동에서는 병진 운동과 달리 회전 반경이 있어 이것이 물체의 운동에 영향을 미친다. 따라서 회전하는 물체의 운동 상태를 나타내는 것을 각운동량^{angular momentum} 이라 부르고 아래와 같이 정의한다.

$$ \mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p} $$

선운동량은 질량과 속도의 곱이므로 원점에 따라서 값이 변하지 않지만 각운동량에는 위치 벡터 $\mathbf{r}$이 포함되어 있으므로 원점을 어디로 두느냐에 따라 값이 달라질 수 있으므로 주의해야 한다. 몇가지 사실을 확인해보면 이렇게 정의하는 것이 타당하고 자연스럽다는 것을 납득할 수 있을 것이다.

토크

병진 운동에서 물체의 운동 상태를 나타내는 것을 운동량이라 하고 운동량의 변화를 힘이라고 했다. 이와 마찬가지로, 회전 운동에서 운동 상태를 나타내는 것을 각운동량이라 했으니 각운동량의 변화를 회전 운동 상태를 변화시키는 무언가라고 할 수 있다. 그 물리량을 토크^Torque 라고 부르고 $\mathbf{N}$으로 표기한다.

$$ \mathbf{N}=\frac{ d \mathbf{L}}{ dt } $$

위 식의 우변을 풀어보면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \frac{ d \mathbf{L}}{ dt }&=\frac{ d (\mathbf{r}\times \mathbf{p})}{ dt } \\ &=\frac{d \mathbf{r}}{dt}\times \mathbf{p}+\mathbf{r}\times \frac{ d \mathbf{p}}{ dt } \\ &= \mathbf{v}\times \mathbf{p} + \mathbf{r}\times\mathbf{F} \end{align*} $$

여기서 $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$이므로 $\mathbf{v}\times \mathbf{p}=\mathbf{v}\times(m\mathbf{v})=\mathbf{0}$이다. 따라서 아래의 식을 얻는다.

$$ \frac{ d \mathbf{L}}{ dt }=\mathbf{r} \times \mathbf{F} $$

위 식에 따라 알짜힘이 $\mathbf{0}$이면 각운동량의 변화가 없고 이는 회전 운동 상태가 변하지 않는다는 의미이다. 각운동량의 정의가 실제 물리 현상을 잘 나타냄을 확인할 수 있다. 또한 위의 식으로부터 토크에 대한 공식을 아래와 같이 얻는다.

$$ \mathbf{N}=\mathbf{r} \times \mathbf{F} $$

직선 운동하는 물체를 생각해보자. 이 물체가 운동하는 방향과 같은 방향으로 외력이 주어졌다고 가정하자. 그러면 방향이 $\mathbf{r}$과 $\mathbf{F}$의 방향이 같으므로 토크는 $\mathbf{0}$이다. 토크는 각운동량을 변화시키는 것인데 그게 $\mathbf{0}$이라는 말은 물체의 회전 운동에 대한 상태가 변하지 않는다는 뜻이다. 실제로 직선 운동하는 물체의 회전 운동 상태는 ‘회전하지 않음’이다. 이 물체를 뒤에서 밀 때 갑자기 회전하지 않으므로 ‘회전하지 않음’ 상태가 그대로 유지된다. 따라서 실제 물리 현상을 잘 표현하는 식이라는 것을 알 수 있다. 또한 중심력을 받으며 회전운동하는 물체의 경우 위치벡터 $\mathbf{r}$과 중심력 $\mathbf{F}$의 방향이 같으므로 토크가 $\mathbf{0}$이 되어 각운동량이 보존된다 는 것을 알 수 있다. 이 사실로부터 면적 속도 일정의 법칙이 유도된다. 토크는 회전 운동의 변화를 주는 것인데 그 변화를 어떻게 주느냐하는지는 오른손 법칙으로 결정한다. 위의 움짤²을 보면 알 수 있듯이 토크가 위쪽 방향이라면 오른손법칙에 의해 물체가 반시계방향으로 운동하도록 상태가 변한다.