📂고전역학

물리학에서 질량 힘 운동량의 정의

질량¹

뉴턴의 운동 법칙에서 관성이란 운동의 변화에 저항하는 성질이라고 설명했다. 즉 관성이 크면 운동하기 어렵고 관성이 작으면 운동하기 쉽다는 말이다. 이는 가벼운 물체를 밀어 옮기는 것보다 무거울 물체를 밀어 옮기는 것이 더 힘들다는 경험과 딱 맞아 떨어진다. 즉, 관성의 크고 작음은 질량의 크고 작음으로 말할 수 있다. 질량이란 물체가 무겁고 가벼운 정도를 말하는 것이다. 이는 질량의 의미를 정의한 것이다. 질량의 값을 정의하는 방법은 아래와 같다.

두 물체가 있다고 가정하자. 각 물체의 질량을 $m_{1}$, $m_{2}$라고 하자. 그리고 이 둘이 같은 힘에 의해 반대방향으로 운동한다고 하자. 쉽게말해 두 물체 사이에 용수철을 끼워 양쪽에서 눌렀다가 뗀 상황을 생각해보자. 두 물체는 각각 속도 $\mathbf{v}_{1}$, $\mathbf{v}_{2}$로 튕겨져 나간다. 이때 두 물체의 질량의 비를 아래와 같이 정의한다.

$$ \frac{m_{2}}{m_{1}}=\left|\frac{\mathbf{v}_{1}}{\mathbf{v}_{2}} \right| $$

이때 물체1의 질량 $m_{1}$을 기준으로 삼으면 다른 물체(물질)들의 질량을 결정할 수 있다.

운동량과 힘

물체의 질량과 속도의 곱을 운동량^momentum이라 하고 $\mathbf{p}$라고 쓴다. 각운동량과 구별하기 위해 선운동량^{linear momentum}이라고도 한다.

$$ \mathbf{p}=m\mathbf{v} $$

운동량은 이름 그대로 운동하는 물체가 가지고 있는 물리량이다. 따라서 물체의 운동에 변화가 일어났다는 것은 물체의 운동량이 증가하거나 감소했다는 것과 같다. 그러면 뉴턴의 제2 법칙에서 말하는 운동의 변화는 시간에 따른 운동량의 변화라고 할 수 있다. 또한 힘을 물체의 운동을 변화시키는 것이라고 하였으므로 운동량의 정의로부터 뉴턴의 제 2법칙을 아래의 수식으로 나타낼 수 있다.

$$ \begin{equation} \mathbf{F}=k\frac{ d \mathbf{p}}{ d t } \end{equation} $$

이를 풀어서 설명하면 ‘물체에 가해진 힘 $\mathbf{F}$는 물체의 운동량의 변화량에 비례한다’이다. 여기서 $k$는 비례상수이다. 물체의 질량 $m$이 시간이 흐름에 따라 변하지 않는다고 가정하면(고등학교 물리부터 대학 물리까지 많은 상황에서 이러하다) 위의 식을 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$ \mathbf{F}=k\frac{d(m\mathbf{v})}{dt}=km\frac{d \mathbf{v}}{dt}=km\mathbf{a} $$

여기서 $\mathbf{a}$는 질량이 $m$인 물체에 힘 $\mathbf{F}$가 작용했을 때 물체가 가지는 가속도이다. 비례 상수를 $k=1$이라 하면 유명한 그 식이 된다.

$$ \mathbf{F}=m\mathbf{a} $$

뉴턴의 운동 법칙과 위의 정의로부터 자연스럽게 운동량 보존 법칙이 나온다. $(1)$의 좌변은 물체계(혹은 입자계)에 작용하는 알짜 힘이고 우변은 물체계의 운동량의 변화율이다. 외력이 존재하지 않으면 운동량의 변화율이 $0$이기 때문에 운동량이 보존된다는 것을 알 수 있다.