📂고전역학

입자계의 질량중심과 선운동량

정의

입자들의 집합을 입자계^{system of particles}라고 한다.

설명 ¹

질량이 $m_{1}$, $m_2$, $\cdots$, $m_{n}$인 입자들의 위치 벡터가 각각 $\mathbf{r}_{1}$, $\mathbf{r}_{2}$, $\cdots$, $\mathbf{r}_{n}$일 때 이 입자계의 질량중심^{center of mass}을 아래와 같이 정의한다.

$$\mathbf{r}_{cm}=\frac{m_{1}\mathbf{r}_{1}+m_{2}\mathbf{r}_{2}+\cdots + m_{n}\mathbf{r}_{n}}{m_{1}+ m_{2}+ \cdots+ m_{n}}=\frac{\sum m_{i}\mathbf{r}_{i}}{m}$$

이때 $m=\sum \limits_{i}m_{i}$는 입자계의 전체 질량이다. 아래첨자 $cm$은 center of mass의 약자이다. 그러면 질량중심의 속도는 자연스럽게 아래와 같이 정의된다.

$$\begin{equation} \mathbf{v}_{cm}=\frac{m_{1}\mathbf{v}_{1}+m_{2}\mathbf{v}_{2}+\cdots + m_{n}\mathbf{v}_{n}}{m_{1}+ m_{2}+ \cdots+ m_{n}}=\frac{\sum m_{i}\mathbf{v}_{i}}{m} \label{velocity-of-cm} \end{equation}$$

3차원 직교좌표계에서 $\mathbf{r}_{i}=x_{i}\hat{\mathbf{x}}+y_{i}\hat{\mathbf{y}}+z_{i}\hat{\mathbf{z}}$라고 하면 각 좌표에 대한 질량 중심은 아래와 같다.

$$x_{cm}=\frac{\sum m_{i}x_{i} }{m},\quad y_{cm}=\frac{\sum m_{i}y_{i} }{m},\quad z_{cm}=\frac{\sum m_{i}z_{i} }{m}$$

이 입자계의 선 운동량은 자연스럽게 각 입자의 운동량의 합으로 정의된다.

$$\mathbf{p}=\sum \mathbf{p}_{i}=\sum m_{i}\mathbf{v}_{i}$$

그러면 $(1)$에 의해서 입자계의 선운동량은 입자계 전체의 질량과 질량 중심의 속도의 곱으로 표현된다는 것을 알 수 있다.

$$\mathbf{p}=\sum m_{i}\mathbf{v}_{i}=m\mathbf{v}_{cm}$$

이제 각각의 입자들이 외부에서 받는 힘을 $\mathbf{F}_{1}$, $\mathbf{F}_{2}$, $\cdots$, $\mathbf{F}_{n}$라고 하자. 또한 입자 $i$가 입자 $j$로부터 받는 힘을 $\mathbf{F}_{ij}$라고 하자. 그러면 입자 $i$의 운동 방정식은 아래와 같다.

$$\mathbf{F}_{i} + \sum \limits_{j=1}^{n}\mathbf{F}_{ij}=m_{i}\ddot{\mathbf{r}_{i}}=\dot{\mathbf{p}_{i}}$$

따라서 입자계 전체에 대한 힘을 모두 더하면 아래와 같다.

$$\sum \limits_{i=1}^{n}\mathbf{F}_{i}+\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits_{j=1}^{n}\mathbf{F}_{ij}=\sum \limits_{i=1}^{n}\dot{\mathbf{p}_{i}}$$

이때 입자는 스스로에게 아무런 힘을 가하지 않으므로 $\mathbf{F}_{ii}=\mathbf{0}$이다. 또한 위 식의 두번째 항에서 $\mathbf{F}_{ij}$와 $\mathbf{F}_{ji}$는 각각 입자 $i$가 입자 $j$에게, 입자 $j$가 입자 $i$에게 미치는 힘이므로 작용-반작용의 법칙에 의해 크기는 같고 방향이 반대이므로 더했을 때 $\mathbf{0}$이다. 따라서 위 식의 두번째 항은 $\mathbf{0}$이다. 그러면 입자계 전체의 운동 방정식은 다음과 같다.

$$\sum \limits _{i=1} ^{n} \mathbf{F}_{i}=\dot{\mathbf{p}_{i}}=m\mathbf{a}_{cm}$$

즉 입자계에서 질량중심의 가속도는 입자계 전체의 질량을 가진 하나의 입자에 전체의 외력이 작용했을 때의 가속도와 같다.