📂미분적분학

역삼각함수의 미분법

정리¹

$$ \begin{align*} \left( \sin^{-1}x \right)^{\prime} &= {{1} \over {\sqrt{1-x^2}}} \\ \left( \cos^{-1}x \right)^{\prime} &= -{{1} \over {\sqrt{1-x^2}}} \\ \left( \tan^{-1}x \right)^{\prime} &= {{1} \over {1+x^2}} \end{align*} $$

설명

각각 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트 로 읽는다. 세상에 이런 것도 미분이 되나 싶지만 알고보면 생각보다 꽤 단순하다. 우변을 보면 알겠지만 도함수들의 모양이 그닥 생소하거나 복잡하지가 않다. 삼각함수와는 전혀 상관 없을지라도 여기저기서 쓰일데가 많으니 증명은 외워두도록 하자. 정의역이라든가 기타 세세하게 주의해야할 것은 알아서 걸러 보도록 하자. 증명법 자체는 코사인이든 탄젠트는 본질적으로 큰 차이가 없으므로 아크사인 $\sin ^{-1}$만 다루겠다.

증명

$y = \sin^{-1} x$라고 하자. $\sin^{-1}$은 $\sin$ 의 역함수이므로

$$ x=\sin y $$

위 식을 양변을 $x$ 에 대해서 미분하면

$$ 1 = {{d\sin y} \over {dx}} = { {d \sin } y \over {dy}} { {dy} \over {dx}} = y^{\prime} \cos y $$

이를 다시 $y^{\prime}$ 에 대해 정리하면

$$ y^{\prime} = { {1} \over {\cos y} } = { {1} \over {\sqrt{1 - \sin ^{2} y}} } = { {1} \over {\sqrt{1 - x^2}} } $$

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