logo

멱급수의 수렴성 📂해석개론

멱급수의 수렴성

정리1

멱급수 ∑n=0∞cn(x−a)n\sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n}의 수렴반경을 RR이라 하자. 그러면

  1. 급수는 x∈(a−R,a+R)x \in (a - R, a + R)에서 절대수렴한다.
  2. 급수는 어떤 닫힌구간 [b,d]⊂(a−R,a+R)[b, d] \subset (a - R, a + R)에서도 균등수렴한다.
  3. (R<∞(R \lt \infty에 대해서) 급수는 x∉[a−R,a+R]x \notin [a - R, a + R]에서 발산한다.

설명

1.과 3.의 증명은 여기를 참고하라.

2.를 다시 표현하면 아래와 같다.

임의의 양수 ε>0\varepsilon \gt 0에 대해서, 급수는 [a−R+ε,a+R−ε][a - R + \varepsilon, a + R - \varepsilon]에서 균등수렴한다.

증명 (2.)

ε>0\varepsilon \gt 0이 주어졌다고 하자. ∣x−a∣≤R−ε\left| x - a \right| \le R - ε에 대해서

∣cn(x−a)n∣≤∣cn(R−ε)n∣ \left| c_{n} (x - a)^{n} \right| \le \left| c_{n} (R - ε)^{n} \right|

가 성립한다. 그런데 1.에 의해서 급수 ∑n=0∞cn(R−ε)n\sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n} (R - ε)^{n}은 절대수렴한다. Mn=∣cn(R−ε)n∣M_{n} = \left| c_{n} (R - ε)^{n} \right|이라 두면 바이어슈트라스-MM 판정법에 의해 ∑n=0∞cn(x−a)n\sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n}은 [a−R+ε,a+R−ε][a - R + \varepsilon, a + R - \varepsilon]에서 균등수렴한다.

■

  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p173 ↩︎