📂해석개론

멱급수의 수렴성

정리¹

멱급수 $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n}$의 수렴반경을 $R$이라 하자. 그러면

1. 급수는 $x \in (a - R, a + R)$에서 절대수렴한다.
2. 급수는 어떤 닫힌구간 $[b, d] \subset (a - R, a + R)$에서도 균등수렴한다.
3. $(R \lt \infty$에 대해서) 급수는 $x \notin [a - R, a + R]$에서 발산한다.

설명

1.과 3.의 증명은 여기를 참고하라.

2.를 다시 표현하면 아래와 같다.

임의의 양수 $\varepsilon \gt 0$에 대해서, 급수는 $[a - R + \varepsilon, a + R - \varepsilon]$에서 균등수렴한다.

증명 (2.)

$\varepsilon \gt 0$이 주어졌다고 하자. $\left| x - a \right| \le R - ε$에 대해서

$$ \left| c_{n} (x - a)^{n} \right| \le \left| c_{n} (R - ε)^{n} \right| $$

가 성립한다. 그런데 1.에 의해서 급수 $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n} (R - ε)^{n}$은 절대수렴한다. $M_{n} = \left| c_{n} (R - ε)^{n} \right|$이라 두면 바이어슈트라스-$M$ 판정법에 의해 $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n}$은 $[a - R + \varepsilon, a + R - \varepsilon]$에서 균등수렴한다.

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