리만 자이 함수
📂함수 리만 자이 함수 정의 다음과 같이 정의된 함수 ξ \xi ξ 리만 자이 함수 riemann xi function 라고 한다.
ξ ( s ) : = 1 2 s ( s − 1 ) π − s / 2 ζ ( s ) Γ ( s 2 )
\xi (s) := {{ 1 } \over { 2 }} s ( s-1) \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right)
ξ ( s ) := 2 1 s ( s − 1 ) π − s /2 ζ ( s ) Γ ( 2 s )
설명 리만 자이 함수는 원래 이와 다른 조금 형태로 정의되어있었으나, 에드문트 란다우 edmund Landau 에 의해 소문자 자이 ξ \xi ξ Ξ \Xi Ξ Ξ ( z ) : = ξ ( 1 2 + z i ) \Xi (z) := \xi \left( {{ 1 } \over { 2 }} + zi \right) Ξ ( z ) := ξ ( 2 1 + z i )
정리 ξ ( 1 − s ) = ξ ( s )
\xi ( 1 - s) = \xi (s)
ξ ( 1 − s ) = ξ ( s ) s = 1 2 \displaystyle s = {{ 1 } \over { 2 }} s = 2 1 Ξ ( − z ) = Ξ ( z )
\Xi ( -z ) = \Xi ( z )
Ξ ( − z ) = Ξ ( z )
증명 Part 1.
Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t
\Gamma (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt
Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t 감마함수 의 정의에서 t = n 2 π z t = n^{2} \pi z t = n 2 π z Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ ( n 2 π z ) x − 1 e − n 2 π z n 2 π d z = n 2 π ( n 2 π ) x − 1 ∫ 0 ∞ z x − 1 e − n 2 π z d z
\begin{align*}
\displaystyle \Gamma \left( x \right) =& \int_{0}^{\infty} \left( n^{2} \pi z \right)^{x-1} e^{-n^{2} \pi z} n^{2} \pi dz
\\ =& n^{2} \pi \left( n^{2} \pi \right)^{x-1} \int_{0}^{\infty} z^{x-1} e^{-n^{2} \pi z} dz
\end{align*}
Γ ( x ) = = ∫ 0 ∞ ( n 2 π z ) x − 1 e − n 2 π z n 2 π d z n 2 π ( n 2 π ) x − 1 ∫ 0 ∞ z x − 1 e − n 2 π z d z x : = s 2 \displaystyle x := {{ s } \over { 2 }} x := 2 s n − s π − s / 2 Γ ( s 2 ) = ∫ 0 ∞ z s 2 − 1 e − n 2 π z d z
n^{-s} \pi^{-s/2} \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) = \int_{0}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} e^{-n^{2} \pi z} dz
n − s π − s /2 Γ ( 2 s ) = ∫ 0 ∞ z 2 s − 1 e − n 2 π z d z ∑ n ∈ N \sum_{n \in \mathbb{N}} ∑ n ∈ N 리만 제타 함수 의 정의에서 Re ( s ) > 1 \re(s) > 1 Re ( s ) > 1 ζ ( s ) π − s / 2 Γ ( s 2 ) = ∑ n ∈ N n − s π − s / 2 Γ ( s 2 ) = ∑ n ∈ N ∫ 0 ∞ z s 2 − 1 e − n 2 π z d z = ∫ 0 ∞ z s 2 − 1 ∑ n ∈ N e − n 2 π z d z
\begin{align*}
\zeta (s) \pi^{-s/2} \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) =& \sum_{n \in \mathbb{N}} n^{-s} \pi^{-s/2} \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right)
\\ =& \sum_{n \in \mathbb{N}} \int_{0}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} e^{-n^{2} \pi z} dz
\\ =& \int_{0}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \sum_{n \in \mathbb{N}} e^{-n^{2} \pi z} dz
\end{align*}
ζ ( s ) π − s /2 Γ ( 2 s ) = = = n ∈ N ∑ n − s π − s /2 Γ ( 2 s ) n ∈ N ∑ ∫ 0 ∞ z 2 s − 1 e − n 2 π z d z ∫ 0 ∞ z 2 s − 1 n ∈ N ∑ e − n 2 π z d z
Part 2.
야코비 세타 함수의 정의와 성질 :
ϑ ( τ ) : = ∑ n ∈ Z e − π n 2 τ
\vartheta (\tau) := \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-\pi n^{2} \tau }
ϑ ( τ ) := n ∈ Z ∑ e − π n 2 τ ϑ \vartheta ϑ ϑ ( τ ) = 1 τ ϑ ( 1 τ )
\vartheta ( \tau ) = \sqrt{ {{ 1 } \over { \tau }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right)
ϑ ( τ ) = τ 1 ϑ ( τ 1 )
적분 구간을 [ 0 , 1 ) [0,1) [ 0 , 1 ) [ 1 , ∞ ) [1 , \infty) [ 1 , ∞ ) [ 0 , 1 ) [0,1) [ 0 , 1 ) τ : = 1 z \tau := {{ 1 } \over { z }} τ := z 1 d z = ∣ 1 τ 2 ∣ d τ dz = \left| {{ 1 } \over { \tau^{2} }} \right| d \tau d z = τ 2 1 d τ π − s / 2 ζ ( s ) Γ ( s 2 ) = ∫ 0 ∞ z s 2 − 1 ϑ ( z ) d z = ∫ 0 1 z s 2 − 1 ϑ ( z ) d z + ∫ 1 ∞ z s 2 − 1 ϑ ( z ) = ∫ 1 ∞ τ 1 − s 2 ϑ ( 1 τ ) 1 τ 2 d τ + ∫ 1 ∞ z s 2 − 1 ϑ ( z ) d z = ∫ 1 ∞ τ − 1 − s 2 ϑ ( 1 τ ) d τ + ∫ 1 ∞ z s 2 − 1 ϑ ( z ) d z = ∫ 1 ∞ τ − 1 − s 2 τ ϑ ( τ ) d τ + ∫ 1 ∞ z s 2 − 1 ϑ ( z ) d z = ∫ 1 ∞ τ − s 2 − 1 2 ϑ ( τ ) d τ + ∫ 1 ∞ z s 2 − 1 ϑ ( z ) d z
\begin{align*}
\pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) =& \int_{0}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz
\\ =& \int_{0}^{1} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z)
\\ =& \int_{1}^{\infty} \tau^{ 1 - {{ s } \over { 2 }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right) {{ 1 } \over { \tau^{2} }} d \tau + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz
\\ =& \int_{1}^{\infty} \tau^{ -1 - {{ s } \over { 2 }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right) d \tau + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz
\\ =& \int_{1}^{\infty} \tau^{ -1 - {{ s } \over { 2 }}} \sqrt{\tau} \vartheta \left( \tau \right) d \tau + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz
\\ =& \int_{1}^{\infty} \tau^{ - {{ s } \over { 2 }} - {{ 1 } \over { 2 }}} \vartheta \left( \tau \right) d \tau + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz
\end{align*}
π − s /2 ζ ( s ) Γ ( 2 s ) = = = = = = ∫ 0 ∞ z 2 s − 1 ϑ ( z ) d z ∫ 0 1 z 2 s − 1 ϑ ( z ) d z + ∫ 1 ∞ z 2 s − 1 ϑ ( z ) ∫ 1 ∞ τ 1 − 2 s ϑ ( τ 1 ) τ 2 1 d τ + ∫ 1 ∞ z 2 s − 1 ϑ ( z ) d z ∫ 1 ∞ τ − 1 − 2 s ϑ ( τ 1 ) d τ + ∫ 1 ∞ z 2 s − 1 ϑ ( z ) d z ∫ 1 ∞ τ − 1 − 2 s τ ϑ ( τ ) d τ + ∫ 1 ∞ z 2 s − 1 ϑ ( z ) d z ∫ 1 ∞ τ − 2 s − 2 1 ϑ ( τ ) d τ + ∫ 1 ∞ z 2 s − 1 ϑ ( z ) d z d z dz d z π − s / 2 ζ ( s ) Γ ( s 2 ) = ∫ 1 ∞ [ z − s 2 − 1 2 + z s 2 − 1 ] ϑ ( z ) d z
\pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) = \int_{1}^{\infty} \left[ z^{ - {{ s } \over { 2 }} - {{ 1 } \over { 2 }}} + z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \right] \vartheta \left( z \right) dz
π − s /2 ζ ( s ) Γ ( 2 s ) = ∫ 1 ∞ [ z − 2 s − 2 1 + z 2 s − 1 ] ϑ ( z ) d z
Part 3.
위 방정식에서 변수가 s s s 1 − s 1-s 1 − s π − ( 1 − s ) / 2 ζ ( 1 − s ) Γ ( 1 − s 2 ) = ∫ 1 ∞ [ z − 1 − s 2 − 1 2 + z 1 − s 2 − 1 ] ϑ ( z ) d z = ∫ 1 ∞ [ z s 2 − 1 + z − s 2 − 1 2 ] ϑ ( z ) d z = π − s / 2 ζ ( s ) Γ ( s 2 )
\begin{align*}
\pi^{-(1-s)/2} \zeta (1-s) \Gamma \left( {{ 1-s } \over { 2 }} \right) =& \int_{1}^{\infty} \left[ z^{ - {{ 1-s } \over { 2 }} - {{ 1 } \over { 2 }}} + z^{{{ 1-s } \over { 2 }}-1} \right] \vartheta \left( z \right) dz
\\ =& \int_{1}^{\infty} \left[ z^{{{ s } \over { 2 }}-1} + z^{ - {{ s } \over { 2 }} - {{ 1 } \over { 2 }}} \right] \vartheta \left( z \right) dz
\\ =& \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right)
\end{align*}
π − ( 1 − s ) /2 ζ ( 1 − s ) Γ ( 2 1 − s ) = = = ∫ 1 ∞ [ z − 2 1 − s − 2 1 + z 2 1 − s − 1 ] ϑ ( z ) d z ∫ 1 ∞ [ z 2 s − 1 + z − 2 s − 2 1 ] ϑ ( z ) d z π − s /2 ζ ( s ) Γ ( 2 s ) ( 1 − s ) ( ( 1 − s ) − 1 ) 2 = s ( s − 1 ) 2 \displaystyle {{ (1-s) ((1-s)-1) } \over { 2 }} = {{ s (s-1) } \over { 2 }} 2 ( 1 − s ) (( 1 − s ) − 1 ) = 2 s ( s − 1 ) ( 1 − s ) ( ( 1 − s ) − 1 ) 2 π − ( 1 − s ) / 2 ζ ( 1 − s ) Γ ( 1 − s 2 ) = s ( s − 1 ) 2 π − s / 2 ζ ( s ) Γ ( s 2 )
{{ (1-s) ((1-s)-1) } \over { 2 }} \pi^{-(1-s)/2} \zeta (1-s) \Gamma \left( {{ 1-s } \over { 2 }} \right) = {{ s (s-1) } \over { 2 }} \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right)
2 ( 1 − s ) (( 1 − s ) − 1 ) π − ( 1 − s ) /2 ζ ( 1 − s ) Γ ( 2 1 − s ) = 2 s ( s − 1 ) π − s /2 ζ ( s ) Γ ( 2 s ) ξ ( 1 − s ) = ξ ( s )
\xi ( 1 - s) = \xi (s)
ξ ( 1 − s ) = ξ ( s )
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