정규 분포의 평균과 분산
공식
$X \sim N\left( \mu , \sigma^{2} \right)$ 면 $$ E(X) = \mu \\ \text{Var} (X) = \sigma^{2} $$
유도
전략: 정규 분포는 적률생성함수가 미분하기 쉬우니 그냥 바로 직접연역한다.
정규 분포의 적률생성함수: $$ m(t) = \exp \left( \mu t + {{ \sigma^{2} t^{2} } \over { 2 }} \right) \qquad , t \in \mathbb{R} $$
$$ m ' (t) = \left( \mu + \sigma^{2} t \right) \exp \left( \mu t + {{ \sigma^{2} t^{2} } \over { 2 }} \right) $$ 이므로 $E(X) = m ' (0) = \mu$ 이고 $$ m '' (t) = \left( 0 + \sigma^{2} \right) \exp \left( \mu t + {{ \sigma^{2} t^{2} } \over { 2 }} \right) + \left( \mu + \sigma^{2} t \right)^{2} \exp \left( \mu t + {{ \sigma^{2} t^{2} } \over { 2 }} \right) $$ 이므로 $E \left( X^{2} \right) = m '' (0) = \sigma^{2} + \mu^{2}$ 이다. 따라서 $\text{Var} (X) = \sigma^{2}$ 이다.
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