📂함수

라게르 다항식의 로드리게스 공식

공식

라게르 다항식의 명시적^explicit 공식은 다음과 같다.

$$L_{n}(x) = \frac{1}{n!}e^{x}\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }(x^{n}e^{-x}) \tag{1}$$

설명

위 공식을 라게르 다항식에 대한 로드리게스 공식이라 한다. 로드리게스 공식이라는 말은 본래 르장드르 다항식의 명시적 꼴을 나타냈으나, 후에 다항식으로 표현되는 특수함수들의 명시적 꼴을 나타내는 공식의 보편적인 명칭이 되었다. 처음 몇 개의 다항식을 적어보면 다음과 같다.

$$\begin{align*} L_{0}(x) &= 1 \\ L_{1}(x) &= -x+1 \\ L_{2}(x) &= \frac{1}{2}\left( x^{2}-4x+2 \right) \\ L_{3}(x) &=\frac{1}{6}\left( -x^{3}+9x^{2}-18x+6 \right) \\ & \vdots \end{align*}$$

증명¹

전략: $(1)$이 라게르 미분 방정식을 만족함을 보이면 된다.

편의를 위해 미분 연산자 $D=\frac{d}{dx}$를 도입하자. $Df=\frac{ d f}{ d x }=f^{\prime}$이고 상황에 따라서 두 표현을 증명에서 적절히 사용하겠다.

로드리게스 공식을 $f(x)=\frac{e^{x}}{n!}\frac{ d ^{n}}{ d x^{n} }(x^{n}e^{-x})$라고 하자. 그리고 $v=x^{n}e^{-x}$라고 하자. 우선 $xv^{\prime}=(n-x)v$가 됨을 보일 것이다. $$\begin{align*} && v^{\prime}&=nx^{n-1}e^{-x}-x^{n}e^{-x} \\ \implies && xv^{\prime}&=nx^{n}e^{-x}-xx^{n}e^{-x} \\ && &=(n-x)v \end{align*}$$

이제 양변을 $n+1$번 미분하자. 우선 좌변부터 미분하면 라이프니츠 규칙에 의해 다음과 같다.

$$\begin{align*} D^{n+1}(xv^{\prime}) &= \sum \limits _{k=0}^{n} \frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!}(D^{k}x)(D^{n+1-k}v^{\prime}) \\ &= \sum \limits _{k=0}^{1} \frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!}(D^{k}x)(D^{n+1-k}v^{\prime}) \end{align*}$$

두번째 등호는 $k \ge 2$일 때 $D^{k}x=0$이므로 성립한다. 합기호를 풀면 아래의 결과를 얻는다.

$$\begin{align*} D^{n+1}(xv^{\prime}) &= xD^{n+1}v^{\prime}+(n+1)D^{n}v^{\prime} \\ &= x(D^{n}v)^{\prime \prime} +(n+1)(D^{n}v)^{\prime} \end{align*}$$

이와 마찬가지로 우변은 다음과 같다.

$$\begin{align*} D^{n+1}\left[ (n-x)v \right] &= \sum \limits _{k=0}^{n}\frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!}\left[D^{k}(n-x)\right] (D^{n+1-k}v) \\ &=\sum \limits _{k=0}^{1}\frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!}\left[D^{k}(n-x)\right] (D^{n+1-k}v) \\ &=(n-x)D^{n+1}v+(n+1)(-1)D^{n}v \\ &= (n-x)(D^{n}v)^{\prime}-(n+1)D^{n}v \end{align*}$$

따라서 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} && D^{n+1}(xv^{\prime}) &= D^{n+1}[(n-x)v] \\ \implies && x(D^{n}v)^{\prime \prime} +(n+1)(D^{n}v)^{\prime} &= (n-x)(D^{n}v)^{\prime}-(n+1)D^{n}v \end{align*}$$

이를 정리하면 아래와 같다.

$$x(D^{n}v)^{\prime \prime} +(1+x)(D^{n}v)^{\prime}+(n+1)D^{n}v=0$$

그런데 가정에 의해 다음이 성립한다.

$$D^{n}v=\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }(x^{n}e^{-x})=n!e^{-x}f(x)$$

이를 위의 식에 대입하면 아래의 결과를 얻는다.

$$x[n!e^{-x}f(x)]^{\prime \prime}+(1+x)[n!e^{-x}f(x)]^{\prime}+(n+1)[n!e^{-x}f(x)]=0$$

미분을 다 풀어보면 아래와 같다. 간단한 계산이므로 과정은 생략한다.

$$n!e^{-x} \left[ xf^{\prime \prime}(x)+(1-x)f^{\prime}(x)+nf(x) \right]=0$$

$n!e^{-x} \ne 0$이므로 괄호 안의 식은 $0$이 되어야한다.

$$xf^{\prime \prime}(x)+(1-x)f^{\prime}(x)+nf(x)=0$$

이는 라게르 미분 방정식이므로, $f(x)$는 라게르 미분 방정식의 해인 라게르 다항식이다.

$$f(x)=\frac{e^{x}}{n!}\frac{ d ^{n}}{ d x^{n} }(x^{n}e^{-x})=L_{n}(x)$$

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