📂함수

에르미트 다항식

설명

에르미트 다항함수^{Hermite Polynomial}는 다음과 같이 여러 방법으로 정의된다.

미분방정식의 해로서

아래와 같은 에르미트 미분 방정식의 해를 에르미트 다항식이라 정의한다.

$$y^{\prime \prime} -2xy^{\prime} +2ny=0,\quad n=0,1,2,\cdots$$

로드리게스 공식

다음과 같은 함수 $H_{n}$을 에르미트 다항함수라고 한다.

$$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }e^{-x^{2}}$$

이를 로드리게스 공식이라 한다. 한편 위의 함수를 물리학자의 에르미트 다항식이라 불리며, 아래와 같은 꼴은 확률론자의 에르미트 다항식이라 불린다.

$$H_{e_{n}} := (-1)^{n} e^{{x^2} \over {2}} {{d^{n}} \over {dx^{n}}} e^{- {{x^2} \over {2}}}$$

설명

정의에 의해 $H_{n}$은 다항'함수'가 맞으나 관습적으로 에르미트 '다항식'이라 부른다. 한국어로만 그런 것이 아니라 영어 표현도 polynomial function이 아닌 Hermite polynomial이다.

처음 몇 개의 에르미트 다항식은 아래와 같다.

$$\begin{align*} H^{0}(x) &= 1 \\ H^{1}(x) &= 2x \\ H^{2}(x) &= 4x^{2}-2 \\ H^{3}(x) &= 8x^{3}-12x \\ H^{4}(x) &= 16x^{4}-48x^{2}+12 \\ H^{5}(x) &= 32x^{5}-160x^{3}+120x \\ &\vdots \end{align*}$$

성질

직교성

에르미트 다항식구간 $(-\infty, \infty)$에서 가중 함수 $w(x)=e^{-x^{2}}$에 대해서 직교한다. (링크)

$$\braket{ H_{n} | H_{m} }_{e^{-x^{2}}} =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}H_{n}(x)H_{m}(x)dx=\sqrt{\pi}2^{n}n!\delta_{nm}$$

재귀 관계

에르미트 다항식은 다음과 같은 재귀 관계를 만족한다. (링크)

$$\begin{align*} H_{n}^{\prime}(x) &= 2nH_{n-1}(x) \\ H_{n+1}(x) &= 2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x) \\ &= 2xH_{n}(x)-H_{n}^{\prime}(x) \nonumber \end{align*}$$

생성함수

에르미트 다항식의 생성 함수는 아래와 같다. (링크)

$$\Phi (x,t)=\sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x)}{n!}t^{n}= e^{2xt-t^{2}}$$