에르미트 다항식의 생성 함수
공식
$$ \Phi (x,t)=\sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x)}{n!}t^{n}= e^{2xt-t^{2}} $$
설명
에르미트 다항식의 생성함수란 쉽게 말해서 에르미트 다항식을 계수로 갖는 다항식이다.
$H_{n}(x)$는 에르미트 다항식이며 에르미트 함수 $y_{n}=e^{\frac{x^{2}}{2}}\frac{ \d ^{n} }{ \d x^{n} }e^{-x^{2}}$에 $(-1)^{n}e^{\frac{x^{2}}{2}}$를 곱해서 얻거나 에르미트 미분 방정식을 풀어서 얻을 수 있다.
$$ H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\frac{ \d ^{n}}{ \d x^{n} }e^{-x^{2}} $$
유도
$f(x)=e^{-x^{2}}$라고 하자. 그러면
$$ f^{(n)}(x)=\frac{ \d ^{n}}{ \d x^{n} }e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{-x^{2}}H_{n}(x) \tag{1} $$
그리고 테일러 급수에 의해서
$$ f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$
여기서 $x-a=t$, $a=y$로 치환하면
$$ f(y+t) = \sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(y)}{n!}t^{n} $$
다시 $y$를 $x$라 두고 여기에 $(1)$을 대입하면
$$ f(x+t)=\sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(y)}{n!}t^{n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}e^{-x^{2}}\frac{t^{n}}{n!}H_{n}(x) $$
이제 $t$대신 $-t$를 대입하면
$$ \begin{align*} f(x-t) &=\sum \limits _{n=0}^{\infty}e^{-x^{2}}\frac{t^{n}}{n!}H_{n}(x) \\ &= e^{-(x-t)^{2}}=e^{-x^{2}+2xt-t^{2}} \end{align*} $$
정리하면
$$ e^{-x^{2}+2xt-t^{2}} = \sum \limits _{n=0}^{\infty}e^{-x^{2}}H_{n}(x)\frac{t^{n}}{n!} $$
이제 양변에 $e^{x^{2}}$를 곱하면 원하는 식을 얻는다.
$$ e^{2xt-t^{2}} = \sum \limits _{n=0}^{\infty}H_{n}(x)\frac{t^{n}}{n!} $$
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정리
또한 에르미트 다항식의 생성 함수는 아래의 미분 방정식을 만족한다.
$$ \frac{ \partial^{2} \Phi}{ \partial x^{2}}-2x\frac{ \partial \Phi}{ \partial x}+2t\frac{ \partial \Phi}{ \partial t }=0 $$
증명
$\Phi (x,t)=e^{2xt-t^{2}}$을 대입하면
$$ \begin{align*} &\frac{ \partial^{2} \Phi}{ \partial x^{2}}-2x\frac{ \partial \Phi}{ \partial x}+2t\frac{ \partial \Phi}{ \partial t } \\ &= 4t^{2}e^{2xt-t^{2}}-4xte^{2xt-t^{2}}+2t(2x-2t)e^{2xt-t^{2}} \\ &=0 \end{align*} $$
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