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포흐하머 기호 📂함수

포흐하머 기호

정의

포흐하머 기호는 아래와 같이 두 종류의 표현이 있다.

아래의 식을 하강 계승falling factorial이라 정의한다.

xn‾:=(x)n=x(x−1)(x−2)⋯(x−n+1)=x!(x−n)!=Γ(x+1)Γ(x−n+1)=∏k=0n−1(x−k) \begin{align*} x^{\underline{n}} := (x)_{n}&=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) \\ &=\frac{x!}{(x-n)!}=\frac{\Gamma (x+1) }{ \Gamma (x-n+1)} \\ &=\prod \limits_{k=0}^{n-1}(x-k) \end{align*}

아래의 식을 상승 계승rasing factorial이라 정의한다.

xn‾:=x(n)=x(x+1)(x+2)⋯(x+n−1)=(x+n−1)!(x−1)!=Γ(x+n)Γ(x)=∏k=0n−1(x+k) \begin{align*} x^{\overline{n}} := x^{(n)}&=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1) \\ &=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}=\frac{\Gamma (x+n) }{ \Gamma (x)} \\ &=\prod \limits_{k=0}^{n-1}(x+k) \end{align*}

x0‾x^{\overline{0}}과 x0‾x^{\underline{0}}은 11로 정의한다.

x0‾=xn‾=1 x^{\overline{0}}=x^{\underline{n}}=1

설명

조합론에서 연속된 정수들의 곱을 나타내는 기호이다. 팩토리얼은 곱셈을 시작하는 수가 1로 고정되어있다. 따라서 팩토리얼만으로 표현하기 어렵거나 팩토리얼만으로 표현했을 때 수식이 지저분해질 경우 포흐하머 기호가 유용하게 쓰일 수 있다. 또한 xx가 정수가 아닌 경우에도 사용된다. 여러가지 표기 방식이 존재하므로 읽고 있는 교재에서 저자가 어떻게 정의했는지 잘 확인해야한다.