📂미분적분학

푸비니의 정리 증명

정리¹

2차원 영역 $R : [a,b] \times [c,d]$ 에 대해 함수 $f : R \to \mathbb{R}$ 을 정의하자. $f(x,\cdot)$ 가 $[c,d]$ 에서 적분가능하고 $f(\cdot,y)$ 가 $[a,b]$ 에서 적분가능하며 $f$ 가 $R$ 에서 적분가능하면

$$ \iint _{R} f dA = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) dy dx = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x,y) dx dy $$

설명

적분영역인 $R$ 은 당연히 Rectangle에서 나온 것이다. 해석학이 늘 그렇듯 말이 너무 길어서 읽기 싫은 여러분들을 위해 요약하자면, 직교하는 두 방향으로 각각 적분가능하면 $f$ 의 중적분을 구할 때 적분 순서를 바꿔도 상관 없다는 말이다. 타 전공에선 대부분 이 조건들을 만족하는 함수를 다루기 때문에 별 것 아닌것 같지만 아주 중요한 정리다. 그냥 중적분의 성질이 아니라 사람 이름이 붙은 정리로 남은 것은 그만한 이유가 있는 것이다.

증명

$$ \begin{align*} (L) \iint _{R} f dA \le & (L) \int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d} f(x,y) dy \right) dx \\ \le & (U) \int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d} f(x,y) dy \right) dx \\ \le & (U) \iint _{R} f dA \end{align*} $$

함수 $g : [a,b] \to \mathbb{R}$ 를 $\displaystyle g(x) := \int_{c}^{d} f(x,y) dy$ 와 같이 정의하자. $f$ 는 $R$ 에서 적분가능, 즉 $\displaystyle (L) \iint _{R} f dA = (U) \iint _{R} f dA$ 이므로

$$ \iint _{R} f dA = (U) \int_{a}^{b} g(x) dx = (L) \int_{a}^{b} g(x) dx $$

$\displaystyle (U) \int_{a}^{b} g(x) dx = (L) \int_{a}^{b} g(x) dx$ 이므로 $g$ 는 $[a,b]$ 에서 적분가능하다. 다시 나타내면,

$$ \begin{align*} \iint _{R} f dA =& (U) \int_{a}^{b} g(x) dx \\ =& (L) \int_{a}^{b} g(x) dx \\ =& \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) dy dx \end{align*} $$

여기서 $x$ 와 $y$ 만 바꿔서 다시 같은 과정을 반복하면

$$ \iint _{R} f dA = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x,y) dx dy $$

를 얻을 수 있으므로

$$ \iint _{R} f dA = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) dy dx = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x,y) dx dy $$

■