n^1/n의 극한
공식
$$ \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 $$
$$ \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{1}{n}} = 1 $$
증명
$\sqrt[n]{n}$ 대신 $\ln \sqrt[n]{n}$의 극한을 구하면 쉽다.
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \ln \sqrt[n]{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\ln n}{n} $$
$\dfrac{\infty}{\infty}$ 꼴이므로 로피탈 정리에 의해,
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\ln n}{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n}}{1} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 $$
따라서,
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \ln \sqrt[n]{n} = 0 \implies \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 $$
두번째 식도 같은 방식으로 증명가능하다.
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