에르미트 함수가 만족하는 미분 방정식의 연산자 풀이
정리
주어진 미분 방정식
$$ y_{n}^{\prime \prime}-x^{2}y_{n}=-(2n+1)y_{n},\quad n=0,1,2,\cdots \tag{1} \label{eq1} $$
$(1)$의 해는 아래와 같으며 에르미트 함수라 부른다.
$$ \begin{align*} y_{n} &= \left( D-x \right)^{n} e^{-\frac{x^{2}}{2}} \\ &= e^{\frac{x^{2}}{2}} D^{n} x^{-x^{2}} \end{align*} $$
이때 $D$는 미분 연산자 $D=\frac{ d }{ dx }$이다.
설명
$y_{n}$의 첫번째 식은 미분 방정식을 풀어서 직접 얻을 수 있다. 두번째 식이 첫번째 식과 같음은 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다.
증명
미분 연산자의 성질 $(e)$, $(f)$에 의해 주어진 미분 방정식을 아래와 같이 나타낼 수 있다.
$$ \begin{align} (D-x)(D+x)y_{n} &= -2ny_{n} \\ (D+x)(D-x)y_{n} &=-2(n+1)y_{n} \end{align} $$
$(2)$에 $n$ 대신 $n-1$을 대입하고 양변에 $(D-x)$를 적용하면 다음을 얻는다.
$$ \begin{equation} (D-x)(D+x)(D-x)y_{n-1} = -2n(D-x)y_{n-1} \end{equation} $$
$(1)$에 $n$ 대신 $n+1$을 대입하고 양변에 $(D+x)$를 적용하면 아래와 같다.
$$ \begin{equation} (D+x)(D-x)(D+x)y_{n+1} = -2(n+1)(D+x)y_{n+1} \end{equation} $$
여기서 $y_{n}$이 아래의 식을 만족한다고 하자.
$$ \begin{align*} (D-x)y_{n-1} &= y_{n} \\ (D+x)y_{n+1} &= y_{n} \end{align*} $$
그러면 $(3)=(1)$이고 $(4)=(2)$이되므로 여전히 $y_{n}$은 미분 방정식을 만족한다. 따라서 위와 같은 성질을 갖는 $y_{n}$을 구해보도록 하자1.
$(D-x)$는 $y_{n-1}$를 $y_{n}$로 바꿔주므로 올림 연산자라고 하자. 반대로 $(D+x)$는 $y_{n+1}$을 $y_{n}$으로 바꿔주므로 내림 연산자라고 하자. 이제 $(3)$, $(4)$를 만족하는 $y_{0}$을 찾는다면 올림 연산자를 통해 미분 방정식의 해 $y_{n}$을 표현할 수 있게 된다. $y_{0}$는 바닥상태이므로 내림 연산자를 적용했을 때 $0$이 된다. 이는 물리적인 조건이다2. 따라서 아래의 식을 얻는다.
$$ (D+x)y_{0}=0 $$
이 방정식은 간단한 분리 가능한 미분 방정식이다. $$ \begin{align*} && \frac{ d y_{0}}{ d x } &=-xy_{0} \\ \implies && \frac{1}{y_{0}}dy_{0} &=-xdx \\ \implies && \ln y_{0} &= -\frac{x^{2}}{2} \\ \implies && y_{0} &=e^{-\frac{x^{2}}{2}} \end{align*} $$
따라서 $y_{n}$은 다음가 같다.
$$ y_{n}=(D-x)^{n}y_{0}=(D-x)^{n}e^{-\frac{x^{2}}{2}} $$
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