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감마함수와 리만 제타 함수 디리클레 에타 함수와의 관계 📂함수

감마함수와 리만 제타 함수 디리클레 에타 함수와의 관계

정리

Re⁡(s)>1\operatorname{Re} (s) > 1 이면 ζ(s)Γ(s)=M[1ex−1](s)=∫0∞xs−1ex−1dxη(s)Γ(s)=M[1ex+1](s)=∫0∞xs−1ex+1dx \zeta (s) \Gamma (s) = \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} \right] (s) = \int_{0}^{\infty} {{ x^{s-1} } \over { e^{x} - 1 }} dx \\ \eta (s) \Gamma (s) = \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} \right] (s) = \int_{0}^{\infty} {{ x^{s-1} } \over { e^{x} + 1 }} dx

  • M\mathcal{M} 은 멜린 변환이다.
  • Re⁡(s)\operatorname{Re} (s) 는 복소수 ss 의 실수부를 나타낸다.

설명

디리클레 에타 함수 η(s)\eta (s) 는 리만 제타 함수 ζ(s)\zeta (s) 의 교대 급수인만큼 서로 수학적으로 흥미로운 관계를 가질 뿐만 아니라 감마 함수 Γ(S)\Gamma (S) 와 멜린 변환 M\mathcal{M} 의 중계로 위와 같이 깔끔한 식으로 정리될 수 있다.

증명

전략: f(x)=(ex−1)−1f(x) = \left( e^{x} - 1 \right)^{-1} 과 g(x)=(ex+1)−1g(x) = \left( e^{x} + 1 \right)^{-1} 를 급수전개로 풀어헤치고 정적분 안에서 치환적분으로 nn 을 이끌어낸다. x>0x > 0 이면 등비급수에 따라 11−e−x=1+e−x+e−2x+⋯ {{ 1 } \over { 1 - e^{-x} }} = 1 + e^{-x} + e^{-2x} + \cdots 우변의 11 을 이항하고 정리하면 e−x+e−2x+⋯=11−e−x−1=e−x1−e−x=1ex−1 \begin{align*} & e^{-x} + e^{-2x} + \cdots \\ =& {{ 1 } \over { 1 - e^{-x} }} - 1 \\ =& {{ e^{-x} } \over { 1 - e^{-x} }} \\ =& {{ 1 } \over { e^{x} -1 }} \end{align*} 함수 f,gf,g 와 함수의 시퀀스 {fN}N∈N,{gN}N∈N\left\{ f_{N} \right\}_{N \in \mathbb{N}}, \left\{ g_{N} \right\}_{N \in \mathbb{N}} 을 다음과 같이 정의하자. f(x):=1ex−1=e−x+e−2x+⋯fN(x):=∑n=1Ne−nxg(x):=1ex+1=e−x−e−2x+⋯gN(x):=∑n=1N(−1)n−1e−nx f(x) := {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} = e^{-x} + e^{-2x} + \cdots \\ f_{N}(x) := \sum_{n=1}^{N} e^{-nx} \\ g(x) := {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} = e^{-x} - e^{-2x} + \cdots \\ g_{N}(x) := \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n-1} e^{-nx} 그러면 N→∞N \to \infty 일 때 fN→fgN→g f_{N} \to f \\ g_{N} \to g 이므로 적분할 때 지배 수렴 정리를 사용할 수 있을 것이다.

ff 의 멜린 변환에서 z:=nxz := nx 와 같이 치환하면 1ndz=dx\displaystyle {{ 1 } \over { n }} dz =dx 이고, 지배수렴정리(DCT)에 의해 M[1ex−1](s)=∫0∞xs−11ex−1dx=DCTlim⁡N→∞∫0∞xs−1∑n=1Ne−nxdx=lim⁡n→∞∑n=1N∫0∞(zn)s−1e−z1ndz=∑n=1∞1ns∫0∞zs−1e−zdz=ζ(s)Γ(s) \begin{align*} \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} \right] (s) =& \int_{0}^{\infty} x^{s-1} {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} dx \\ \overset{\text{DCT}}{=}& \lim_{N \to \infty} \int_{0}^{\infty} x^{s-1} \sum_{n=1}^{N} e^{-nx} dx \\ =& \lim_{n \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \int_{0}^{\infty} \left( {{ z } \over { n }} \right)^{s-1} e^{-z} {{ 1 } \over { n }} dz \\ =& \sum_{n=1}^{\infty} {{ 1 } \over { n^{s} }} \int_{0}^{\infty} z^{s-1} e^{-z} dz \\ =& \zeta (s) \Gamma (s) \end{align*} 마찬가지로 M[1ex+1](s)=∫0∞xs−11ex+1dx=DCTlim⁡N→∞∫0∞xs−1∑n=1N(−1)n−1e−nxdx=lim⁡N→∞∑n=1N(−1)n−1∫0∞(zn)s−1e−z1ndz=∑n=1∞(−1)n−1ns∫0∞zs−1e−zdz=η(s)Γ(s) \begin{align*} \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} \right] (s) =& \int_{0}^{\infty} x^{s-1} {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} dx \\ \overset{\text{DCT}}{=}& \lim_{N \to \infty} \int_{0}^{\infty} x^{s-1} \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n-1} e^{-nx} dx \\ =& \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n-1} \int_{0}^{\infty} \left( {{ z } \over { n }} \right)^{s-1} e^{-z} {{ 1 } \over { n }} dz \\ =& \sum_{n=1}^{\infty} {{ (-1)^{n-1} } \over { n^{s} }} \int_{0}^{\infty} z^{s-1} e^{-z} dz \\ =& \eta (s) \Gamma (s) \end{align*}

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