감마함수와 리만 제타 함수 디리클레 에타 함수와의 관계
정리
$\operatorname{Re} (s) > 1$ 이면 $$ \zeta (s) \Gamma (s) = \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} \right] (s) = \int_{0}^{\infty} {{ x^{s-1} } \over { e^{x} - 1 }} dx \\ \eta (s) \Gamma (s) = \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} \right] (s) = \int_{0}^{\infty} {{ x^{s-1} } \over { e^{x} + 1 }} dx $$
설명
디리클레 에타 함수 $\eta (s)$ 는 리만 제타 함수 $\zeta (s)$ 의 교대 급수인만큼 서로 수학적으로 흥미로운 관계를 가질 뿐만 아니라 감마 함수 $\Gamma (S)$ 와 멜린 변환 $\mathcal{M}$ 의 중계로 위와 같이 깔끔한 식으로 정리될 수 있다.
증명
전략: $f(x) = \left( e^{x} - 1 \right)^{-1}$ 과 $g(x) = \left( e^{x} + 1 \right)^{-1}$ 를 급수전개로 풀어헤치고 정적분 안에서 치환적분으로 $n$ 을 이끌어낸다. $x > 0$ 이면 등비급수에 따라 $$ {{ 1 } \over { 1 - e^{-x} }} = 1 + e^{-x} + e^{-2x} + \cdots $$ 우변의 $1$ 을 이항하고 정리하면 $$ \begin{align*} & e^{-x} + e^{-2x} + \cdots \\ =& {{ 1 } \over { 1 - e^{-x} }} - 1 \\ =& {{ e^{-x} } \over { 1 - e^{-x} }} \\ =& {{ 1 } \over { e^{x} -1 }} \end{align*} $$ 함수 $f,g$ 와 함수의 시퀀스 $\left\{ f_{N} \right\}_{N \in \mathbb{N}}, \left\{ g_{N} \right\}_{N \in \mathbb{N}}$ 을 다음과 같이 정의하자. $$ f(x) := {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} = e^{-x} + e^{-2x} + \cdots \\ f_{N}(x) := \sum_{n=1}^{N} e^{-nx} \\ g(x) := {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} = e^{-x} - e^{-2x} + \cdots \\ g_{N}(x) := \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n-1} e^{-nx} $$ 그러면 $N \to \infty$ 일 때 $$ f_{N} \to f \\ g_{N} \to g $$ 이므로 적분할 때 지배 수렴 정리를 사용할 수 있을 것이다.
$f$ 의 멜린 변환에서 $z := nx$ 와 같이 치환하면 $\displaystyle {{ 1 } \over { n }} dz =dx$ 이고, 지배수렴정리(DCT)에 의해 $$ \begin{align*} \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} \right] (s) =& \int_{0}^{\infty} x^{s-1} {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} dx \\ \overset{\text{DCT}}{=}& \lim_{N \to \infty} \int_{0}^{\infty} x^{s-1} \sum_{n=1}^{N} e^{-nx} dx \\ =& \lim_{n \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \int_{0}^{\infty} \left( {{ z } \over { n }} \right)^{s-1} e^{-z} {{ 1 } \over { n }} dz \\ =& \sum_{n=1}^{\infty} {{ 1 } \over { n^{s} }} \int_{0}^{\infty} z^{s-1} e^{-z} dz \\ =& \zeta (s) \Gamma (s) \end{align*} $$ 마찬가지로 $$ \begin{align*} \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} \right] (s) =& \int_{0}^{\infty} x^{s-1} {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} dx \\ \overset{\text{DCT}}{=}& \lim_{N \to \infty} \int_{0}^{\infty} x^{s-1} \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n-1} e^{-nx} dx \\ =& \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n-1} \int_{0}^{\infty} \left( {{ z } \over { n }} \right)^{s-1} e^{-z} {{ 1 } \over { n }} dz \\ =& \sum_{n=1}^{\infty} {{ (-1)^{n-1} } \over { n^{s} }} \int_{0}^{\infty} z^{s-1} e^{-z} dz \\ =& \eta (s) \Gamma (s) \end{align*} $$
■