작용소로써의 푸리에 변환
📂르벡공간 작용소로써의 푸리에 변환 정의 함수 f f f
f ^ ( γ ) : = ∫ R f ( x ) e − 2 π i x γ d x , γ ∈ R
\widehat{f} (\gamma ) := \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2 \pi i x \gamma} dx, \quad \gamma \in \mathbb{R}
f ( γ ) := ∫ R f ( x ) e − 2 πi x γ d x , γ ∈ R
을 다음과 같은 작용소 F \mathcal{F} F
( F f ) ( γ ) : = f ^ ( γ )
(\mathcal{F} f) (\gamma ) := \widehat{f} ( \gamma )
( F f ) ( γ ) := f ( γ )
설명 푸리에 변환 은 해석학 전반에서 널리 쓰이고 있으며 두가지 표현 f ^ \widehat{f} f F f \mathcal{F} f F f f ^ \widehat{f} f F \mathcal{F} F
f , g ∈ L 1 f,g \in L^{1} f , g ∈ L 1
a ∈ R a \in \mathbb{R} a ∈ R F T a = E − a F
\mathcal{F} T_{a} = E_{-a} \mathcal{F}
F T a = E − a F
b ∈ R b \in \mathbb{R} b ∈ R F E b = T b F
\mathcal{F} E_{b} = T_{b} \mathcal{F}
F E b = T b F
c ≠ 0 c \ne 0 c = 0 F D c = D 1 / c F
\mathcal{F} D_{c} = D_{1/c} \mathcal{F}
F D c = D 1/ c F
컨볼루션: F ( f ∗ g ) = ( F f ⋅ F g )
\mathcal{F} ( f \ast\ g) = (\mathcal{F} f \cdot \mathcal{F} g)
F ( f ∗ g ) = ( F f ⋅ F g )
1~3: T a , E b , D c T_{a}, E_{b}, D_{c} T a , E b , D c 트랜슬레이션, 모듈레이션, 딜레이션 이다.
4: ∗ \ast ∗ 컨볼루션 합성곱 이고, ⋅ \cdot ⋅ γ ∈ R \gamma \in \mathbb{R} γ ∈ R
f ∗ g ^ ( γ ) = f ^ ( γ ) g ^ ( γ )
\widehat{f \ast\ g} (\gamma) = \widehat{f} (\gamma) \widehat{g} (\gamma)
f ∗ g ( γ ) = f ( γ ) g ( γ )
f , g ∈ L 2 f , g \in L^{2} f , g ∈ L 2
놈:
∥ F f ∥ 2 = ∥ f ∥ 2
\left\| \mathcal{F} f \right\|_{2} = \left\| f \right\|_{2}
∥ F f ∥ 2 = ∥ f ∥ 2
내적:
⟨ F f , F g ⟩ = ⟨ f , g ⟩
\langle \mathcal{F} f , \mathcal{F} g \rangle = \langle f , g \rangle
⟨ F f , F g ⟩ = ⟨ f , g ⟩
위의 성질들은 이미 푸리에 해석에서 널리 알려져 있는 것들을 작용소론의 언어로 다시금 나타낸 것들이다.
증명 1~4의 증명은 여기 를 참고하라.
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