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작용소로써의 푸리에 변환

정의¹

함수 $f$ 의 푸리에 변환

$$ \widehat{f} (\gamma ) := \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2 \pi i x \gamma} dx, \quad \gamma \in \mathbb{R} $$

을 다음과 같은 작용소 $\mathcal{F}$와 같이 표현하기도 한다.

$$ (\mathcal{F} f) (\gamma ) := \widehat{f} ( \gamma ) $$

설명

푸리에 변환은 해석학 전반에서 널리 쓰이고 있으며 두가지 표현 $\widehat{f}$ 과 $\mathcal{F} f$ 는 본질적으로 다른 점이 없지만, 기호를 사용할 때 뉘앙스의 차이는 살짝 있다. 실질적인 계산과 공식, 빠른 표기가 중점이 될 땐 $\widehat{f}$ 가 선호되고, 작용소로써의 성질과 연산 순서 중요할 땐 $\mathcal{F}$ 가 선호된다.

$f,g \in L^{1}$ 이라고 하자.

1. $a \in \mathbb{R}$ 에 대해

$$ \mathcal{F} T_{a} = E_{-a} \mathcal{F} $$

2. $b \in \mathbb{R}$ 에 대해

$$ \mathcal{F} E_{b} = T_{b} \mathcal{F} $$

3. $c \ne 0$ 에 대해

$$ \mathcal{F} D_{c} = D_{1/c} \mathcal{F} $$

4. 컨볼루션:

$$ \mathcal{F} ( f \ast\ g) = (\mathcal{F} f \cdot \mathcal{F} g) $$

1~3: $T_{a}, E_{b}, D_{c}$ 는 트랜슬레이션, 모듈레이션, 딜레이션이다.

4: $\ast$ 은 컨볼루션 합성곱이고, $\cdot$ 은 단순히 함수의 곱을 의미한다. 다시 말해, $\gamma \in \mathbb{R}$ 에 대해

$$ \widehat{f \ast\ g} (\gamma) = \widehat{f} (\gamma) \widehat{g} (\gamma) $$

$f , g \in L^{2}$ 이라고 하자.

5. 놈: $$ \left\| \mathcal{F} f \right\|_{2} = \left\| f \right\|_{2} $$

6. 내적:

$$ \langle \mathcal{F} f , \mathcal{F} g \rangle = \langle f , g \rangle $$

위의 성질들은 이미 푸리에 해석에서 널리 알려져 있는 것들을 작용소론의 언어로 다시금 나타낸 것들이다.

증명

1~4의 증명은 여기를 참고하라.

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같이보기

• 푸리에 변환 유도
• 푸리에 변환의 여러 정의와 표기법
• 푸리에 변환의 여러가지 의미