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디리클레 에타 함수 📂함수

디리클레 에타 함수

정의

다음과 같이 정의된 함수 η:C→C\eta : \mathbb{C} \to \mathbb{C} 를 디리클레 에타 함수dirichlet eta function라고 한다. η(s):=∑n∈N(−1)n−1n−s \eta (s) := \sum_{n \in \mathbb{N}} (-1)^{n-1} n^{-s}

디리클레 에타 함수는 교대 리만 제타 함수로 정의된다.

정리

  • [1] 리만 제타 함수와의 관계: η(s)=(1−21−s)ζ(s) \eta (s) = \left( 1 - 2^{1-s} \right) \zeta (s)
  • [2] 감마 함수와의 관계: Re⁡(s)>1\operatorname{Re} (s) > 1 이면 η(s)Γ(s)=M[1ex+1](s)=∫0∞xs−1ex+1dx \eta (s) \Gamma (s) = \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} \right] (s) = \int_{0}^{\infty} {{ x^{s-1} } \over { e^{x} + 1 }} dx
  • Re⁡(z)\re(z) 는 복소수 z∈Cz \in \mathbb{C} 의 실수부를 의미한다.

증명

[1]

ζ(s)−η(s)=∑n∈N1ns−∑n∈N(−1)n−1ns=∑n∈N(1ns+(−1)nns)=2∑n∈N1(2n)s=21−s∑n∈N1ns=21−sζ(s) \begin{align*} \zeta (s) - \eta (s) =& \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{s} }} - \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ (-1)^{n-1} } \over { n^{s} }} \\ =& \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( {{ 1 } \over { n^{s} }} + {{ (-1)^{n} } \over { n^{s} }} \right) \\ =& 2 \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { (2n)^{s} }} \\ =& 2^{1-s} \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{s} }} \\ =& 2^{1-s} \zeta (s) \end{align*} 디리클레 에타 함수에 대해 고치면 η(s)=(1−21−s)ζ(s) \eta (s) = \left( 1 - 2^{1-s} \right) \zeta (s)

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[2]

그리 간단하지 않다. 지배수렴정리를 통해 유도한다.

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