디리클레 에타 함수
정의
다음과 같이 정의된 함수 $\eta : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 를 디리클레 에타 함수dirichlet eta function라고 한다. $$ \eta (s) := \sum_{n \in \mathbb{N}} (-1)^{n-1} n^{-s} $$
디리클레 에타 함수는 교대 리만 제타 함수로 정의된다.
정리
- [1] 리만 제타 함수와의 관계: $$ \eta (s) = \left( 1 - 2^{1-s} \right) \zeta (s) $$
- [2] 감마 함수와의 관계: $\operatorname{Re} (s) > 1$ 이면 $$ \eta (s) \Gamma (s) = \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} \right] (s) = \int_{0}^{\infty} {{ x^{s-1} } \over { e^{x} + 1 }} dx $$
- $\Re(z)$ 는 복소수 $z \in \mathbb{C}$ 의 실수부를 의미한다.
증명
[1]
$$ \begin{align*} \zeta (s) - \eta (s) =& \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{s} }} - \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ (-1)^{n-1} } \over { n^{s} }} \\ =& \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( {{ 1 } \over { n^{s} }} + {{ (-1)^{n} } \over { n^{s} }} \right) \\ =& 2 \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { (2n)^{s} }} \\ =& 2^{1-s} \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{s} }} \\ =& 2^{1-s} \zeta (s) \end{align*} $$ 디리클레 에타 함수에 대해 고치면 $$ \eta (s) = \left( 1 - 2^{1-s} \right) \zeta (s) $$
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[2]
그리 간단하지 않다. 지배수렴정리를 통해 유도한다.
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