벡터필드의 평행이동
정리
$\boldsymbol{\alpha} (t)$를 $C^{2}$ 곡면 $M$ 위의 정칙 곡선이라고 하자. $\tilde{\mathbf{X}} = (\tilde{X}^{1}, \tilde{X}^{2})$를 점 $\boldsymbol{\alpha}(t_{0})$에서 $M$에 탄젠트한 벡터라고 하자. 그러면 $\mathbf{X}(t_{0}) =\tilde{\mathbf{X}}$를 만족하는 $\boldsymbol{\alpha}(t)$에 평행한 벡터 필드 $\mathbf{X}(t)$가 유일하게 존재한다.
정의
위 정리에 따른 유일한 벡터 필드 $X(t)$를 $\tilde{X}$의 평행이동the parallel translate of $\tilde{X}$ along $\alpha$이라 한다.
증명
$\mathbf{x}$를 $\boldsymbol{\alpha}(t_{0})$에 대한 좌표조각사상이라고 하자. 그러면 $\boldsymbol{\alpha}(t) = \mathbf{x} \left( \alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t) \right)$와 같이 표기할 수 있다.
이제 다음과 같은 초기값 문제를 생각해보자.
$$ \begin{align*} \dfrac{d X^{k}}{dt} =&\ - \sum_{i,j} \Gamma_{ij}^{k} X^{i} \dfrac{d \alpha^{j}}{d t},\quad k=1,2 \\ X^{k}(t_{0}) =&\ \tilde{X}^{k} \end{align*} $$
$\boldsymbol{\alpha}(t) = \mathbf{x}\left( \alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t) \right)$를 좌표조각사상 $\mathbf{x}$위의 정칙 곡선이라고 하자. $\mathbf{X}(t) = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2}$를 $\alpha$를 따르서 미분가능한 벡터 필드라고 하자. 그러면 $\mathbf{X}(t)$가 $\alpha$를 따라 평행할 필요충분조건은 다음과 같다.
$$ 0 = \dfrac{d X^{k}}{d t} + \sum_{i,j} \Gamma_{ij}^{k} X^{i} \dfrac{d \alpha^{j}}{d t},\quad k=1,2 $$
피카드 정리에 의해 $t_{0}$ 근처에서는 유일한 해가 존재한다. 그러면 보조정리에 의해서 이 해는 $\alpha$를 따라 평행한 벡터필드임을 알 수 있다.
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