에어리 함수
정의
아래의 함수를 에어리 함수Airy function라 한다.
$$ \begin{align*} \operatorname{Ai}(x) &= \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{x}{3}}K_{1/3}\left( \frac{2}{3}x^{2/3} \right) \\ \operatorname{Bi}(x) &= \sqrt{\frac{x}{3}}\left[ I_{-1/3}\left( \frac{2}{3}x^{3/2} \right) + I_{1/3} \left( \frac{2}{3}x^{2/3} \right) \right] \end{align*} $$
이때 $I_{\nu}$, $K_{\nu}$는 변형 베셀 함수이다.
설명
에어리 함수는 에어리 미분 방정식의 해를 베셀 함수로 나타낸 것이다.
적분꼴
에어리 함수는 다음과 같은 적분꼴을 갖는다.
$$ \begin{align*} \operatorname{Ai}(x) &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \cos (t^{3}/3 + xt) dt \\ \operatorname{Bi}(x) &= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty} \left[ \exp \left( -\frac{1}{3}t^{3}+xt \right)+\sin\left( \frac{1}{3}t^{3}+xt \right) \right]dt \end{align*} $$