📂함수

에어리 함수

정의

아래의 함수를 에어리 함수^{Airy function}라 한다.

$$\begin{align*} \operatorname{Ai}(x) &= \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{x}{3}}K_{1/3}\left( \frac{2}{3}x^{2/3} \right) \\ \operatorname{Bi}(x) &= \sqrt{\frac{x}{3}}\left[ I_{-1/3}\left( \frac{2}{3}x^{3/2} \right) + I_{1/3} \left( \frac{2}{3}x^{2/3} \right) \right] \end{align*}$$

이때 $I_{\nu}$, $K_{\nu}$는 변형 베셀 함수이다.

설명

에어리 함수는 에어리 미분 방정식의 해를 베셀 함수로 나타낸 것이다.

적분꼴

에어리 함수는 다음과 같은 적분꼴을 갖는다.

$$\begin{align*} \operatorname{Ai}(x) &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \cos (t^{3}/3 + xt) dt \\ \operatorname{Bi}(x) &= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty} \left[ \exp \left( -\frac{1}{3}t^{3}+xt \right)+\sin\left( \frac{1}{3}t^{3}+xt \right) \right]dt \end{align*}$$