logo

리만 제타 함수 📂함수

리만 제타 함수

정의

다음과 같이 정의된 함수 ζ:C∖{1}→C\zeta : \mathbb{C} \setminus \left\{ 1 \right\} \to \mathbb{C} 를 리만 제타 함수riemann zeta Function</sup라고 한다. ζ(s):=∑n∈Nn−s=∏p:prime(1−p−s)−1 \zeta (s) := \sum_{n \in \mathbb{N}} n^{-s} = \prod_{p : \text{prime}} \left( 1- {p^{-s}} \right)^{-1}

관련 정리

  • [0] 라마누잔 합: ∑n∈Nxn−1=11−x\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} x^{n-1} = {{ 1 } \over { 1-x }} 이 ∣x∣=1|x| = 1 에서도 성립한다는 주장을 받아들인다면 ζ(0)=1+1+1+1+⋯=−12 \zeta (0) = 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots = - {{ 1 } \over { 2 }}

  • [1] 오렘의 증명 : ζ(1)\zeta (1) 이 정의되지 않는 이유는 다음과 같다. ζ(1)=∑n∈N1n=∞ \zeta (1) = \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n }} = \infty

  • [2] 오일러의 증명: ζ(2)=∑n∈N1n2=π26 \zeta (2) = \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{2} }} = {{ \pi^{2} } \over { 6 }}

  • [a] 감마 함수와의 관계 : Re⁡(s)>1\operatorname{Re} (s) > 1 이면 ζ(s)Γ(s)=M[1ex−1](s)=∫0∞xs−1ex−1dx \zeta (s) \Gamma (s) = \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} \right] (s) = \int_{0}^{\infty} {{ x^{s-1} } \over { e^{x} - 1 }} dx

  • [b] 디리클레 에타 함수와의 관계 : η(s):=∑n∈N(−1)n−1n−s \eta (s) := \sum_{n \in \mathbb{N}} (-1)^{n-1} n^{-s}

설명

제타 함수는 실수부가 11 보다 큰 복소수, 즉 Re⁡(s)>1\operatorname{Re} (s) > 1 인 ss 에서 수렴하며, 감마 함수와의 관계를 가진다. 특히 정수론과 복소해석에서 관심의 대상이 되어왔으며, 그 악명 높은 리만 가설의 주인공이기도 하다.