📂함수

변형 베셀방정식과 변형 베셀함수

빌드업

아래의 미분 방정식을 변형 베셀 방정식이라 한다.

$$x^2 y^{\prime \prime} + xy^{\prime}-(x^2-\nu^2)y=0$$

베셀 방정식에서 $y$항의 부호가 $+ \rightarrow -$로 바뀐 형태이다. 이 미분 방정식의 해는 베셀 방정식이 해인 미분 방정식의 공식에 의해 아래와 같다.

$$y=Z_{\nu}(ix)=AJ_{\nu}(ix)+BN_{\nu}(ix)$$

일반적으로 사용하는 두 해의 꼴은 다음과 같으며 변형 베셀 함수^{modified Bessel function}라 부른다. 특히 $I_{\nu}$를 제1종 변형 베셀 함수^{modified Bessel function of the first kind}, $K_{\nu}$를 제2종 변형 베셀 함수^{modified Bessel function of the second kind}라 한다.

정의

제1종 변형베셀함수 $I_{\nu}$와 제2종 변형베셀함수 $K_{\nu}$는 각각 다음과 같이 정의된다.

$$\begin{align*} I_{\nu}(x)&=i^{-\nu}J_{\nu}(ix) \\ \\ K_{\nu}(x) &= \frac{\pi}{2}i^{\nu+1}\left[ J_{\nu}(ix)+iN_{\nu}(ix) \right] \\ &= \frac{\pi}{2}i^{\nu+1}H_{p}^{(1)}(ix) \\ &=\frac{\pi}{2}\frac{I_{-\nu}(x)-I_{\nu}(x)}{\sin (\nu\pi )} \end{align*}$$

여기서 $J_{\nu}$ $H_{\nu}^{(1)}(x)$는 한켈 함수이다.

설명

앞에 $i$가 곱해진 이유는 실수 $x$에 대해서 $I_{\nu}(x)$, $K_{\nu}(x)$의 값이 실수가 되게 하기 위함이다. 이런 상황은 $y^{\prime \prime}+y=0$의 해가 $\cos x$, $\sin x$이고, $y^{\prime \prime}-y=0$의 해가 $\cosh x=\cos (ix)$, $\sinh (x)=\sin (ix)$인 것과 비슷하다. 방정식의 이러한 특성으로 인해 $I_{\nu}$와 $K_{\nu}$는 쌍곡 베셀 함수^{hyperbolic Bessel function}라고도 불린다.

적분 꼴

2010년 Olver 등에 의해 다음과 같은 적분 꼴이 알려졌다¹.

$$I_{\nu} (z) = {{ \left( {{ z } \over { 2 }} \right)^{\nu} } \over { \sqrt{\pi} \Gamma \left( \nu + {{ 1 } \over { 2 }} \right) }} \int_{-1}^{1} e^{zt} \left( 1 - t^{2} \right)^{\nu - {{ 1 } \over { 2 }}} dt$$

이러한 변형 베셀 함수는 수리 물리학이 아니더라도 방향 통계학 등에서 아주 중요하게 쓰이고 있으며, 공간통계분석에서 세미배리오그램의 무난한 선택지 중 하나인 마테른^Matérn 함수에서도 등장한다.