📂함수

한켈 함수, 제3종 베셀 함수

정의

제1종 베셀함수 $J_{\nu}$와 제2종 베셀함수 $N_{\nu}$의 아래와 같은 두 선형 결합을 한켈 함수^{Hankel function} 혹은 제3종 베셀함수라 부른다.

$$H_{\nu}^{(1)}(x) = J_{\nu}(x)+iN_{\nu}(x)$$ $$H_{\nu}^{(2)}(x) = J_{\nu}(x)-iN_{\nu}(x)$$

설명

1869년에 독일의 수학자 Hermann Hankel에 의해 소개되었다. 구체적으로 $H_{\nu}^{(1)}$를 제1종^{first kind} 한켈함수, $H_{\nu}^{(2)}$를 제2종^{second kind} 한켈함수라고도 부른다.

정의의 이해를 위해 미분 방정식 $y^{\prime \prime}+y=0$을 생각해보자. 이 미분방정식의 해는 $\cos x$와 $\sin x$이다. 일반해는 이들의 선형 결합으로 나타낸다. 그 중 가장 흔하게 사용되는 꼴은 $\cos x + \pm i \sin x=e^{\pm ix}$이다. 이와 비슷하게 베셀 방정식의 일반해를 두 해인 $J_{\nu}(x)$, $N_{\nu}(x)$의 선형 결합으로 나타낸 것이 한켈 함수이다.